二元函数对xy同时求导
学习阶段：大学数学。
前置知识：复数的三角形式、棣莫弗定理、多元微分学。
1. 复变函数
1.1 复变函数的定义
说地简单点，复变函数就是自变量和应变量都是复数的函数。其定义域和值域均
，是实函数的扩充。
1.2 复变函数的可视化
由于定义域和值域都是二维的，用一幅类似实函数的静态图像完整绘制复变函数需要四维的空间，这是很难理解的。我们换一种方式来可视化复变函数。
复数可以画在复平面上，我们让自变量移动到应变量的位置，可以绘制出一副动画。比如说函数
的图像为：
我们知道，根据复数乘法的运算法则，若
，则
，你在图中也能看到这种对应关系。图中使用辐角主值
.
2. 复变函数的解析与保角
解析的定义是：函数在这一点的某个邻域内可导。不解析的点称为奇点。
可导的定义是：函数在
这一点可导，则
存在。
导数如何进行可视化呢？我们画一个例子来看看：
我们观察一个点及其映射之后的状况。让这个邻域足够小，则经过这一点的光滑曲线可以近似为直线。自变量的微分
就是从点
往任意方向走一个微小距离对应的复数，相应地，应变量的微分
是从点
往相应方向走一个相应距离对应的复数，如下图所示：
在
可导，即
存在。复数的除法有运算法则
，即模相除，辐角相减。另外，根据极限的唯一性，我们知道
不论往任何方向走，
的值都是唯一的。如果
，则
和
都是不变的，我们称这两个量为
转动角和 伸缩率，如下图所示：
经典的动图：
转动角
伸缩率
这就直观地解释了复变函数解析性能推出保角性，并说明了导数的几何意义。
3. 柯西-黎曼方程
复变函数不仅可以记为
. 因为
，
，其中
是实数。
与
是自变量，决定了
与
的值，所以
和
都是关于
与
的二元函数，那么复变函数就可以记为
. 如下图所示：
如果
解析，
与
之间有什么关系呢？取
为两个特殊的方向：
左图取
为
轴正方向前进
的长度；右图取
为
轴正方向前进
的长度。
由于
解析，它在这一点有保角且伸缩率不变。那么很有趣，当
时，两个紫色直角三角形全等，有对应边相等：
这个方程组，就称为柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations），简称C-R方程。
同时，我们也得到了
导数的各种形式：
附录
参考及推荐视频：
【官方双语】黎曼ζ函数与解析延拓的可视化www.bilibili.com
其中截取的两个动画分别出现在8:40和14:20开始。
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