圆的性质定理显神通 - 剖析 2017全国3卷文科第20 题
(2017 全国3 文科第20 题)在直角坐标系xOy 中，曲线 y=x²+mx–2 与x 轴交于A，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过A，B，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.
【解析】：（1）不会出现，理由如下：
【点评】可以推广为一般结论：过定点A任作直线交定圆于 B,C两点，则 lABl · lACl 为定值。
【考试中心试题评价】试题背景朴素，以二次函数形式的抛物线为载体，
第（1）问判断两直线是否垂直，对数形结合的思想和考生的逻辑推理能力做了基础性考查。
第（2）问证明△ABC外接圆被 y 轴截得的弦长为定值，是涉及圆与抛物线相关的综合问题，要求考生能化繁为简，求出△ABC外接圆圆心坐标和半径，从而可证明△ABC外接圆与 y 轴的另一个交点为定点。试题要求考生能在复杂变化的情景中，能够用数学的眼光发现问题的本质，用数学的思想方法分析问题、解决问题。因此，试题较好地体现了核心素养的考查。
剖析1：从命制的过程追溯在2011 年的文科试题中，以抛物线形式为载体，对三角形外接圆方程的求解，和给出两直线的位置关系，求参数a 。
【解析】第（2）问，学生容易把O当成圆心，利用垂径定理。此考查了解析几何最基本的思想。
剖析2：抽象出一个重要问题模型
在解决例1第（2）问的过程中，舍去抛物线，抽象出了关于△ABC外接圆的相关问题，注意到 A,B在抛物线上，从而使得问题得以解决。三角形外接圆的相关问题，全国卷多次考查。
【点评】注意到 A,B,C的特殊性，优化解题策略。例3为直角三角形，例4为等边三角形，即使没有注意到整个图形的特殊性，也应该注意到至少有两个点的连线与坐标轴是平行的，则可以根据点在中垂线上设出圆心坐标，利用半径相等建立等量关系即可。
剖析3：平面几何选讲知识优化解题过程平面几何选讲被删去，不是不重要，而是在初中已经掌握，在高中没有必要再重复，不单独考查，与其它知识结合在一起。