中考数学压轴题分析：黄金分割点

黄金分割问题在实际生活中经常出现。

中高考中也偶尔会涉及，但是考查的不是很多。

本文选自2020年徐州市中考的倒数第2题中考查正方形的折叠问题。同时涉及了相似与黄金分割比的问题。

【中考真题】

（2020·徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．

（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为            cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

【分析】
题（1）直接把AC的长度代入比例中即可得到AC的值。

题（2）需证明点G是AB的黄金分割点，则只需求出BG的长度即可。利用折叠可以得到CG平分∠FCE，那么就可以利用面积法得到FM与EM的比值等于CF与CE的比值，进而得到MF的长度，即可得到tan∠MCF的值，然后易得BG的长度。

题（3）要使得E、F恰好是黄金分割点，且AD>DE，所以只有一种情况。那么直接连接EF并延长交BC的延长线于点P。

根据黄金分割比得到AE与AF的值，然后利用相似比得到BP的值，结论就不难得出了。

【答案】解：（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，
∴AB20＝（1010）cm．
故答案为：（1010）．
（2）延长EA，CG交于点M，

∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC10，
∴EM＝10，
∴DM＝1010，
∴tan∠DMC．
∴tan∠BCG，
即，
∴，
∴G是AB的黄金分割点；
（3）当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE，
∵AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF，
∴，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE＞DE，
∴，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴，
∴，
∴BP＝BC．

【总结】

比例与黄金分割问题，可以考虑利用相似或三角进行转化。