工程上信号求导的常见方法

工程中常常需要对某一个信号进行求导，例如对位移求导计算速度、对速度求导计算加速度。由于信号不可避免的掺杂着噪声，所以求导后的结果往往不太理想。

如果只是把求导后的信号作为观察量，那么对信号的质量也没太高的要求。但是，如果是需要对处理后的信号进行运动学或动力学计算，那么我们就对信号的真实性就有较高的要求：准确平滑且延迟小。

脚主接触到的汽车上类似问题常用的处理办法主要有低通滤波、卡尔曼滤波。下面将以一组具体的数据仿真例举说明。

低通滤波、卡尔曼滤波相关理论前面介绍过，这里不再具体介绍，本文重点对两种方法的信号求导进行对比说明。

1、理想状态下有一个正旋位移信号，如下图。

对其求一阶导计算速度、二阶导计算加速度都没有问题，如下图。

这个理想的速度、加速度可以作为后面噪声信号处理结果对比的基准。

2、对理想状态的位移增加一个高斯白噪声，去尽量模拟真实的信号，如下图。

再对其进行求导计算速度和加速度，发现速度、加速度已完全失真，如下图。

3、采用低通滤波对位移滤波后求导计算速度，再对速度滤波后求导计算加速度，可以看出速度、加速度噪声下降很多，也有了基本的正旋曲线形状，如下图。

增大求导的步长本质上也是一种滤波，效果也与低通滤波差不多，这里不再进行单独介绍。

将低通滤波计算的速度、加速度分别与理想的速度、加速度对比，滤波后计算的速度与理想速度趋势基本一致，但信号有部分噪声与延迟，滤波后计算的加速度与理想加速度趋势也基本一致，但噪声依然较大，如下图。

对于加速度信号可以加大滤波，能改善噪声情况，但不可避免会增大延迟。

4、采用卡尔曼滤波进行速度、加速度估计，速度及加速度信号都比较平滑，结果如下图。

将卡尔曼滤波计算的速度、加速度分别与理想的速度、加速度对比，速度信号基本与理想的速度一致，延迟基本没有，加速度信号噪声较小，但是依然有300ms左右的延迟，结果如下图。

低通滤波经过参数优化后也可以实现卡尔曼差不多的效果。

以上，简要介绍了工程上常用的两种优化求导信号的方法：低通滤波、卡尔曼滤波。这里需要强调的是，不管用什么方法去优化求导结果，都只能平衡信号噪声与延迟的关系，无法消除它们，工程实际中需要结合自己的需求去判断更加侧重哪一个指标。