从一道“折线距离”的错误理解谈起

今日在解决《全国100所名校单元测试示范卷》必修2第七单元第二次综合测试卷中遇到这样一道题：

在这道题中涉及到“折线距离”的概念，我们可以称之为新定义问题，但是这个“折线距离”并不是空穴来风。

“折线距离”又称为曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到达另一点的距离正是在南北方向上旅行的距离加上在东西方向上旅行的距离，因此，曼哈顿距离又称为出租车距离。曼哈顿距离不是距离不变量，当坐标轴变动时，点间的距离就会不同。正是这种距离有着自己独特的文化背景，所以备受各地高考、模拟命题人的青睐。

譬如说这次的试题命题人依旧选择了这一“距离”问题。

我们来看答案解析：

答案是正确的，但是解题思路、解题过程有些不恰当，解析中说求两点之间的“折线距离”最小值就是求两点之间距离的最小值。这显然是不正确的。

也就是书中答案给出的过程是错误的，而最终能够得出正确的结果，是因为这条直线的特殊性，换做其他直线，我们未必可以给出正确的答案。

譬如，我们把这道题进行改编：

我们利用答案给出的解析过程，解决这道题：

这是正确答案吗？？？？

我们不妨再找两个点检验一下，

再次验证了这种方法是无效的，也就是说我们不能用直角三角形斜边的大小来衡量两直角边和的大小。

那么，正确地解决方法是什么？

我们还是先看原题，

当然，我们在解决此类问题时，通常遇见选择题或者填空题，我们直接选择上面的不等式，一次绝对值不等式，一次三角函数化简，即可得到正确答案。

我们再用这种方法做一下变式。

仍然是，因为最小值一定存在，所以我们在解决此类问题时，直接选择上面的不等式，一次绝对值不等式，一次三角函数化简，即可得到正确答案。

接下来，我们进一步研究此类问题，为了更好的解决这类问题，我们不妨把这类问题分解成一些小问题来研究。

这样，我们得到我们第一个结论：

我们只证明第三个，其他的你们可以试着证明。

由结论一，我们很容易得到一下结论。

以上三个结论，我们不再证明，附上图例，自己观察验证。

接下来，我们再回到原题，答案给出的是没有问题的，但是这样的解题过程，容易误导学生，甚至误导一些教师，认为找出点作出直角三角形的两直角边和就是所求，其实并不全是，例如变式，经过我们以上的判断，显然当直线斜率为1或者-1时才满足。

接下来，我们利用这一思路，我们再次解决原题。

我们接着来看变式:

由以上分析，编者的答案可以说是正确的，但是少了一个关键的说明，难免会导致出现歧义，我们在日常的教学过程中，要学生知其然，更要让学生知气所以然，这样也符合我们数学的核心素养。

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