投资哲学之数学原理 理论的力量在于其彻底性，对理论最简洁和透彻的阐述工具是数学。本文以最简单的企业成...
理论的力量在于其彻底性，对理论最简洁和透彻的阐述工具是数学。本文以最简单的企业成长模型为公设，从一个基本公式出发，通过对几个估值指标间关系的推算，试图找到纯理论公式与投资原则之间的逻辑关系。批评请主要针对文中的逻辑错误。
公式：
公设：ROE、PB、PE都维持不变，企业利润增长仅靠净资产增加推动，若企业不分红，则每年利润增长ROE%。
理由：企业增长的核心是将留存的收益再投资实现复利增长，从长远看超过ROE的利润增长是不可持续的，ROE是增长之源，也是增长的极限。
全文公式及推导过程汇总如下：
公式1：
从长期看，对于相同PE的股票，高PB、高ROE的企业更值得买入，因为高ROE的企业会享受更快的增长。
启示1：尽量选择未来一段时间能长期维持高ROE的企业，只要企业ROE能维持高位，高估值溢价就是合理的。发现长期高ROE的企业是价值投资的精髓。
复利思维：ROE是复利的核心，只有靠ROE推高净资产的内生式增长才是真正的可持续增长；没有高ROE的外延式增长从长远看不会持久。
公式2：
从短期看，高ROE可以被高PB摊薄，所以即使是ROE高达30%的股票，若是PB高达10，则每年为股东创造的收益只有3%。
启示2：选择高ROE、高PB(低PE)的企业，意味着放弃眼前的利益，去博取企业高ROE带来的成长性，前提是企业的高ROE真的可持续。
逆向思维：企业提高ROE的增长才是真正的增长，不过ROE的提高存在一个天花板。坏企业可以通过提高ROE变成好企业，好企业却只有用ROE推高净资产的方式增长。若企业的高ROE不可持续，反倒不如选择ROE稍低、PB更低(低PE)的股票(如当下破净的银行股)。
公式3：
所谓PEG，是用市盈率PE除以利润增长率G，此处仍假设企业利润增长仅靠净资产增加推动，则每年企业利润增长G=ROE。通常PEG=1时，表示股票的估值刚好反映其未来业绩的成长性；PEG>1时股票高估，PEG<1时股票低估。下表是按PEG=1推算的企业合理估值：
启示3：企业的合理PE=ROE，这意味着企业有多高的ROE，则享受多高的PE。再进一步可得出，企业的股价与企业未来ROE的平方成正比。
动态思维：企业ROE的变化将从利润和估值两个维度影响股价，这就是我们常说的“戴维斯双击/双杀”。比较而言，ROE恒定时，股价是长期稳定加速的指数增长，其中的关键是时间；ROE变化时，股价是短期剧烈的大幅波动，其中的关键是变化。
公式4：
由此可得出PB和股息率的大小如何影响投资收益率：
启示4：分红是将净资产以PB=1的价格分配给投资者，不会考虑市场给企业PB的溢价或折价，所以，PB>1时股价高于净资产，分红无法全额买回减少的净资产；相反，PB<1时股价低于净资产，分红可以超额买回减少的净资产。
套利思维：溢价时分红投资者损失；折价时分红投资者受益。此外，分红还自带“马太效应”，当PB=1时，分红不改变PB；当PB>1时，分红增大PB；当PB<1时，分红减小PB。该规律对封闭式基金同样适用。
公式5：
公式5的潜台词是ROE决定PB，ROE=10%刚好对应PB=1，与公式4的结果一致。由PEG=1的假设，可推导出ROE超过10%创造价值，不分红有利，ROE低于10%毁灭价值，分红有利。
启示5：对企业来讲，ROE恒定时，分红和净利润增长是一个此消彼长的关系，简单点说，若企业将年利润全部分红，次年的净利润增长只有提高ROE一条路。由ROE=净利润/净资产,若企业永不分红，则每年净资产增长ROE%，则次年利润必须也要增长ROE%，才能维持ROE不变。在PB>1时，若企业能维持高ROE，则最佳策略是不分红，持续将利润再投资，此时可完全实现ROE%的利润增长。但实际上，任何行业在逼近天花板后，超高ROE都是不可持续的。
舍得思维：若利润不能持续做大，唯一可行的办法就是减小净资产。通过加大现金分红，将企业运营不需要的现金分给股东(或回购股票)。分红最重要的是使企业最高效地使用资金，占用最少净资产的利润增长才是最好的增长方式。
关于分红：
大家对分红问题争议甚多、分歧巨大，主要原因是正反双方不在一个维度上讨论问题。个人觉得至少应该区分4个维度具体分析，详见下表：
1.理论上，只要看公式4：年化投资回报率=ROE+(1-PB)×股息率，就能得出理论上的最优解。
2.实际上，最优方案是企业要考虑：①分红对未来ROE的影响，②ROE变化对企业估值PB的影响，将变化后的ROE和PB代入公式4，可求得对股东利益最大化的最优股息率【个人觉得此标准对企业经营者过于苛刻】。
3.实践中，企业经营者应根据经营情况决定是否分红，简单说就是保证企业长期ROE的最大化【能以此为目标决定分红率，即可认定为优秀的企业经营者】。
4.现实中，企业经营者(或大股东)与小股东在利益上经常是不一致的。企业经营者往往会因盲目扩张冲动、或占有支配小股东资产的欲望，而扭曲自己的行为方式。
5.潜规则，当前许多企业的分红，更多的是向证监会和市场递交的“投名状”。招摇撞骗型企业分红是为了能够继续行骗；急于套现型企业分红是为了坐高股价减持；资金饥渴型企业分红是为了融入更多资金。更复杂的是，真正优秀和假装优秀的企业都会以成长为理由不分红，如何分辨至关重要。
免责声明：
①本文试图以简单的公设出发，印证常见的投资原则，故借用牛顿经典命名《投资哲学之数学原理》。受能力所限简化处理，批评时请勿拿现实标准生搬硬套。
②全文未考虑折现率的动态变化。文中以PEG=1，ROE=10%推导所得公式，可视为包含折现率的公式在折现率为10%时的简化。
③ROE本身是百分数，为表述直观，文中有时用ROE%，其中包含百倍乘数。
缘木求鱼刻舟求剑惴惴不安抛砖引玉发表中……