【专题精讲】最短路径问题汇总，经典例题解析，期中必考内容

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一、学习目标

1、熟练应用最短路径的基本模型；

2、掌握计算最短路径的长度的一般思想和方法；

3、理解最短路径问题的数学本质：转化思想、数形结合思想和函数思想。

二、知识重点

1、最短路径问题

是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：

（1）确定起点的最短路径问题——即已知起始结点，求最短路径的问题；

（2）确定终点的最短路径问题——与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题；

（3）确定起点终点的最短路径问题——即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；

（4）全局最短路径问题——求图中所有的最短路径。

2、基本依据

两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质、平移的性质等。

3、常见的类型

两点一线，两线一点，两点两线等。

三、12个基本问题

1、问题原型：将军饮马、造桥选址、费马点

2、涉及知识：两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系、轴对称、平移

3、出题背景：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等

4、解题思路：找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

5、12个基本问题

经典例子解析

例一、在解决最短路径问题时,  我们通常利用_____、_____等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择。

例二、已知，如图,在直线l的同侧有两点A、  B

(1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；(2)在图2的直线上找一点P,使PA-PB最长

例三、如图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB  的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( ) 

A.7 cm    B.5 cm C.8 cm   D.10 cm 

例四、如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置

例五、如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？

参考答案

例一：轴对称平移 

例二：(1)作点B关于直线l的对称点C,连接AC交直线l于点P,连接BP；点P即为所求(2)连接AB并延长,交直线l于点P

例三：C  

例四：作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB的交点为E点

例五：①过点A作AP⊥a,并在AP上向下截取AA′,使AA′=河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置

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