第27讲：《变限积分与定积分的近似计算》内容小结、课件与典型例题与练习

一、变限积分函数及其性质

(1) 如果函数在上可积，则
在上连续.
(2) 如果函数在上连续，则变限积分函数可导，且
【注1】上面定义的函数是上连续的函数的一个原函数.  即闭区间上连续的函数一定存在有原函数. 这个结论一方面肯定了连续函数原函数的存在性，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分.
【注2】注意被积表达式中包含有求导变量时，一定要将其提到积分符号外面，然后应用求导的乘法法则求导. 即以上公式只适用于被积函数包含积分变量的情形. 如
 

二、变限积分函数及其性质

变限积分问题常见的题型主要有包含积分式的极限、函数性质的探讨和函数表达式的计算、积分等式、不等式的证明等.
一般思路：包含有变限积分的问题直接求导；对于不包含变限积分的积分问题，考虑将等式或不等式中的上限、或下限符号全部设定为变量，通过构建变限积分求导来探讨可能的问题求解思路！即与其它问题一样，只不过构建的辅助函数包含有变限积分. 在应用的过程中，注意应用定积分的性质来转换，简化问题描述.

三、定积分的近似计算

利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．对于那些不存在能用初等函数描述原函数的被积函数，要计算积分值显然就不能用微积分基本公式计算，但是又不得不计算其积分值来探讨问题与结论，这就有必要考虑定积分近似计算的方法．同样，在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时也只能应用近似方法去计算相应的定积分．
定积分的近似方法最简单的为矩形法、梯形法与抛物线法. 它们可以基于定积分的几何意义，曲边梯形的面积来直接推导得到. 在数值计算方法中，还有专题专门探讨定积分的近似计算方法和对各种方法的误差进行分析，如果有兴趣可以参见专门的相关资料. 对于矩形法、梯形法和抛物线方法的原理可以参见课件！
基于数学软件的不定积分、定积分的计算与近似数值计算方法，以及计算结果正确性、有效性的验证，可以参见如下的两个推文：
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