【数学帮】你必须掌握的高中数学五大解题法(附例题解析)
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从抽象到具体
“抽象”是透过事物现象,深入内部,抽取事物本质的过程的一种认识方法。
“具体”是把抽象出的概念、原理同相应的感性材料联系起来,从而更具体的理解概念的一种认识方法,抽象与具体是对立的统一。
高度的抽象是数学的一个基本特点,有时问题较抽象,不易发现其内在的联系和规律。因而要从“抽象”后退到“具体”的几何图形上来考虑,使问题更易理解,更好解决。
例1
分析:
要证的不等式左边有根号,它们的数量关系较抽象,直接证明难以入手。因此不妨退到所表示的几何图形上考察。(如图1)
图1
由
,当且仅当A点落在线段OB上时取等号。
而
因而
例2
对于
,确定
的所有可能值。
分析:
仔细观察上述代数式的结构,容易联想起两点的距离之差。事实上,
这表示x轴上的点P(a,0)到两定点A(
)和B(
)的距离之差(如图2)。
图2
由于线段AB平行于y轴,不论P(a,0)在x轴什么位置,始终可构成△PAB,由“三角形任意两边之差小于第三边”,得
。
即
的值在(-1,1)内。
从一般到特殊
例1
已知
,其中
是满足
的常数,试问α,β为何值时,
与θ无关。
恒为定值。为了探求α,β的值,所以我们考虑θ的几个特殊值,θ=0,-α,-β,
,使
的表达式变得较为简单。
可知:
不难求得
,又由
知,
。
从而
。所以
,经检验,即为所求。
从多到少
例1
设
,其中
。求证:
。
分析:
由于变元较多,难于下手,先退为二元考虑。
即设
,有
。
只要证得
事实上
,所以
。
所以
所以
所以
从整体到局部
有些数学问题,如果从整体上不便解决,可先研究其局部,如果局部问题得以解决,常常能促使问题整体得以解决。
例1
在锐角三角形ABC中,求证:
。
分析:
因为
为锐角三角形,所以A∈(0,
),所以B+C∈(
,π),
,且B,
-C∈(0,
)。
又因为
在(0,
)为增函数,所以
,即
。同理
。
所以
。
例2
试判断函数
的单调性。
分析:
此函数的定义域为R,要直接判断
在R上的单调性有一定的难度,注意到
为奇函数,它在
和
上的单调性相同,这就把判断
在R上的单调性问题转化为判断
在
上的单调性问题。
任取
,且
,则
,从而
。
所以
,即
。
所以
在
上单调递增,由奇函数的性质知
在R上单调递增。
从高维高次到低维低次
例7
求证
。
分析:
该题的特点是右边是积的形式,左边是和的形式且次数偏高。故对左边进行降次,用何种方法把高次降下来,容易看出采用因式分解为宜。
证明:左边
例8
斜三棱柱的一个侧面的面积等于S,这个侧面与它所对的棱的距离等于a,求证:这个棱柱的体积等于
。
证明:
类比联想平面几何中借助于四边形的面积推求三角面积的过程中,曾运用补形法。这里,把斜三棱柱补成平行六面体
,且把它看成以
为底面的四棱柱,它的高恰为a,故有
。