例谈圆锥曲线中的非对称问题

一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,则这样的多项式叫做对称多项式,简称对称式,除此之外均称为非对称式.圆锥曲线解答题中直接或间接求解非对称式问题我们称为非对称问题,该问题集直线与圆锥曲线位置关系,点与圆锥曲线的位置关系,方程与不等式等数学知识于一体,经常在知识网络交汇处设置问题,综合性较强,有一定难度.但很多学生发现不能直接利用韦达定理就放弃了,非常可惜,本文就几种常见的圆锥曲线非对称问题谈谈该类问题的求解方法.

1 配凑法化非对称为对称

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设直线x=my+1 与椭圆交于P,Q,直线AP 与直线BQ 交于点T,证明:当m 变化时,点T 在一条定直线上.

分析 联立直线AP,BQ 的方程,直接求交点坐标运算量太大,不可行! 只需消去y,再将x1,x2 转化为y1,y2,然后配凑成y1+y2 和y1y2 的形式,进而整体代换即可,这正是解析几何的核心思想——“设而不求”.

2 利用圆锥曲线方程代入化非对称为对称

例3 如图,椭圆E:

左、右顶点为A、B,左、右焦点为F1、F2,|AB|=4,

直线y=kx+m(k＞0)交椭圆E 于C、D 两点,与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M、N 两点(M,N 不重合),且|CM|=|DN|.

3 小试牛刀解高考真题

例4 (2020年高考全国I 卷理科)已知A、B 分别为椭圆E:

的左、右顶点,G 为E 的上顶点,P 为直线x=6 上的动点,PA 与E 的另一交点为C,PB 与E 的另一交点为D.

(1)求E 的方程;

(2)证明:直线CD 过定点.

分析 联立直线AC 和BD 的方程,消去y,代入x=6,再将非对称式

化为对称式,然后利用韦达定理整体代换求解.

解析 (1)依据题意作出如下图象:由椭圆方程

可得:A(-a,0),B(a,0),G(0,1),则

所以

得a2=9,所以椭圆方程为:

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