好题解析：等腰三角形存在性问题讨论

分类讨论思想在初中数学中有着非常广泛的应用，在等腰三角形中，经常会运用到分类讨论思想。

来看看这样一道题目：（适合初二、初三学生练习 ）

如图所示，有一块直角三角形绿地，量得两直角边BC、AC的长分别为6m、8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC边为直角边的直角三角形，求扩充后的等腰三角形绿地的周长.

分析：要求给已知的Rt△ABC补充一部分，

需要满足两个条件，

一是，补充的部分是以AC为边的直角三角形，

二是，补充后的图形是等腰三角形，

经过分析，AB是补充后的等腰三角形的一条完整边。

则将题目转化为：以AB为边构造等腰三角形。

以已知线段AB为边构造等腰三角形一般有三种情况：

①以已知线段AB为等腰三角形的底边；

②以已知线段AB为等腰三角形的腰，且以A为顶角的顶点；

③以已知线段AB为等腰三角形的腰，且以B为顶角的顶点；

解：∵BC、AC的长分别为6m、8m,

根据勾股定理得：AB=10 m.

设扩充的三角形为△ACD，则由题意得扩充后的等腰三角形有以下三种情况，

①以已知线段AB为等腰△ABD的底边，也就是以DB和DA为腰，

即DA=DB，如图所示.

设CD=x，则AD=BD=x+6，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：

②以已知线段AB为等腰△ABD的腰，且以A为顶角的顶点；

即AB=AD，如图所示.

因为AB=AD，AC⊥BD

所以BC=CD=6

△ABD的周长为：32 m.

③以已知线段AB为等腰△ABD的腰，且以B为顶角的顶点；

BA=BD，如图1所示.

因为CD=BD-BC=4，

所以在Rt△ACD中，由勾股定理得：

综上所述，扩充后的等腰三角形绿地的周长为

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