新春科普：物理学的高潮：海森堡、玻恩、狄拉克与矩阵力学
网上经常有这样的问题：物理学的高潮过去了吗？这个我真的回答不上来。但是物理学的确经历过两次高潮：一次是1665年，英国剑桥的那场瘟疫，让无事可做的牛顿回到他母亲的农场，搞出了万有引力；另外一次就是1925年，那个群英荟萃的时代，量子力学的突飞猛进。本文就来讲述物理学第二次高潮中诞生的矩阵力学。
一、缘起玻尔——量子力学初创
1885年，巴耳末将氢原子的谱线表示成巴耳末公式，里德伯总结出更为普遍的光谱线公式里德伯公式。然而这两个公式都是经验公式，人们并不了解它们的物理含义。20世纪初期，德国物理学家普朗克为解释黑体辐射现象，提出了量子论，揭开了量子物理学的序幕。
1911年，卢瑟福根据1910年进行的α粒子散射实验，提出了原子结构的行星模型。在这个模型里，电子像太阳系的行星围绕太阳转一样围绕着原子核旋转。但是根据经典电磁理论，这样的电子会发射出电磁辐射，损失能量，以至瞬间坍缩到原子核里。这与实际情况不符，卢瑟福无法解释这个矛盾。
1912年，卢瑟福的学生玻尔写了一篇论文，在论文中，玻尔在行星模型的基础上引入了普朗克的量子概念，认为原子中的电子处在一系列分立的稳态上。回到丹麦后玻尔急于将这些思想整理成论文，可是进展不大。
1913年2月4日前后的某一天，玻尔的同事汉森提到了巴耳末公式，玻尔顿时受到启发。后来他回忆到“就在我看到巴耳末公式的那一瞬间，突然一切都清楚了，”“就像是七巧板游戏中的最后一块。”这件事被称为玻尔的“二月转变”。
1913年7月、9月、11月，经由卢瑟福推荐，《哲学杂志》接连刊载了玻尔的三篇论文，标志着玻尔模型正式提出。这三篇论文成为物理学史上的经典，被称为玻尔模型的“三部曲”。玻尔模型在解释氢原子光谱上取得了巨大的成功。
二、一人文章——海森堡
先来了解一下傅里叶展开式，这个大学的时候几乎虐了所有理工科学生的公式。由法国数学家约瑟夫·傅里叶(1768年–1830年)提出：任何函数都可以展开为三角级数。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。
在玻尔的原子轨道学说中，电子运行在固定的轨道上做周期性的运动。而周期性函数可以展开为傅里叶级数，展开之后就是频率和振幅。24岁的海森堡敏锐地在这个模型中捕捉到了一丝丝的信息。他把这个傅里叶级数展开后发现，这个傅里叶级数不应该是正常的傅里叶级数。
因为原子发光的时候，光的很多频率并不是等间隔分布的，光谱的频率之间基本上显得杂乱无章，但这些频率也可以作为一种变异的傅里叶级数的展开频率。如果这种变异的傅里叶级数展开是可行的，那么两个轨道的乘积满足一个很奇怪的求和规律。
海森堡的的思路突然打开，如果电子没有轨道，那么通常的位置和速度描述就不再有意义。受到玻尔的对应原理和克拉莫斯的色散关系的提醒，海森堡意识到——变异的傅里叶展开可以建立一种新的力学理论。
海森堡将他的思路写下来，并以他个人的名字发表了《关于运动学和动力学的量子力学解释》，史上称这篇文章为“一人文章”。这篇文章中有很奇怪的乘法求和法则，而这个乘法求和法则，正是英国数学家凯莱所定义的矩阵乘法。
三、二人文章——玻恩和约当
海森堡的博士导师玻恩找到了一个非常得力的助手约当，他是一个数学天才，尤其是对矩阵数学非常了解，而玻恩对矩阵并不擅长。
当海森堡将自己的论文交给玻恩看了之后，玻恩敏锐地感觉到，这是一种新的力学。于是他与约当联手发表了另外一篇文章来介绍量子力学的思想《论量子力学》，这篇文章就是历史上著名的“二人文章”。在这个二人文章中，开篇提到的就是矩阵乘法。
四、三人文章——玻恩、海森堡和约当
后来回到了欧洲的海森堡与他的老师还有约当一起，再次发表了“三人文章”《论量子力学二》，在这篇文章中，矩阵力学的大部分内容被表达了出来。比如用厄米矩阵表示可观察物理量，微扰法等等，这些都用矩阵作为基本的数学工具。
其中，玻恩等三人将不对易关系pq-qp=(h/2πi)/I ，写成了[p q]=I。
五、狄拉克——交换游戏
海森堡的“一个人文章”发表之后，立刻去了英国剑桥，在那里他把自己的论文交给了剑桥的富勒教授，而富勒教授又把这篇文章交给了自己的学生去看。这个学生就是——狄拉克。写到这里我们必须要介绍一下狄拉克的底子（背景）。
保罗·狄拉克，1902年8月8日出生在英格兰西南部的布里斯托，成长在毕晓普斯顿区的城市。狄拉克第一次受教育是在主教路小学，然后在男子商人合营技术学院（后来的考瑟姆学校）就读。这所学校是布里斯托大学内的附属机构，这所大学强调技术课程，如瓦工、制鞋、金属工作和现代语言。
之后狄拉克在布里斯托大学工程学院学习电机工程。尽管最喜欢的科目是数学，狄拉克后来声称工程教育对他影响深远：
“原先，我只对完全正确的方程感兴趣。然而我所接受的工程训练教导我要容许近似，有时候我能够从这些理论中发现惊人的美，即使它是以近似为基础...如果没有这些来自工程学的训练，我或许无法在后来的研究作出任何成果...”
介绍完狄拉克，大家可能看出来了，这个人有着深厚的数学功底以及工程学的思维。狄拉克在二人文章”的启发下很快就看懂了“一人文章”。
搞通信工程或者是编程的小伙伴一定熟悉黑箱理论，因为在搞工程的人看来，任何复杂系统都可以看做一个黑箱，信号从黑箱的一端输入，然后从另一端输出。其实我们现在设计电路板的时候也都是这个思路，没有人会关心每个芯片内部是怎么处理的，知道结果就行。
狄拉克也是如此，工程学和数学背景深厚的他，为处理原子轨道的问题引入了一个冲击函数，这就是他所说的狄拉克函数。所谓冲击函数就是这个冲击是在瞬间发生的，持续时间非常短，但强度很大，一出现就消失。
狄拉克把这个冲击函数利用傅里叶展开后形成了一个平坦的功率谱——系统的传输函数就是输入函数为冲击函数时所对应的输出函数。狄拉克把这个函数用在了量子力学上。
当狄拉克看到“三人文章”的时候，他一眼就看出，海森堡思维的核心就是这个括号，而这个括号就是泊松括号，而这种矩阵力学的精髓就是——不遵守交换律。
狄拉克站在玻恩、海森堡、约当、泊松四个人的肩膀上，总结出：不用费力去计算矩阵，完全可以从经典的泊松括号出发建立一种新的代数。这种代数同样不符合乘法交换律，狄拉克把它称作“q数”。所有的物理量，如动量、位置、能量等都可以改造成这种q数。而原来的那些老体系中的符合交换律的变量，则称作'c数”。
至此，狄拉克发现量子力学与经典力学通过泊松括号相互挂钩，量子力学的不对易关系在经典力学中正是泊松括号的类似物。受到经典力学运动方程dA/dt={A H}，其中{}是泊松括号，H表示哈密顿量，的启发，他将量子力学中的力学量A的演化写成dA/dt=[A H]的形式，其中A和H都是有限矩阵或者微分算子。而能量矩阵用H来表示，成为哈密顿算子。
这就是矩阵力学中的矩阵运动方程。
结束语
我无法说出物理学的下一次高潮会在什么时候到来，但是从这些天才科学家们的故事中我们可以总结出科学实现突破的两个条件：第一，新的物质运动现象被发现，就像量子力学初创阶段中的黑体辐射研究和原子光谱分析；第二，有准备的大脑，任何一次科学的高潮都是转瞬即逝的，在发现并总结出新的规律的时候，一个储备了深厚科学底蕴的大脑是完成这次突破的关键。