矩形和菱形的性质及判定

在本节中，将系统梳理菱形和矩形的性质以及判定，着重梳理与矩形翻折类的问题，并且罗列一些比较经典的矩形和菱形背景下的压轴题。

 在判定一个四边形是否是菱形和矩形时，一定要指明是在平行四边形的基础上证明，还是在四边形的基础上证明。矩形和菱形的判定都是基于其定义以及性质的逆命题所产生的，在证明时要灵活应用，根据已知条件，选择恰当的判定方式。

以上，就是矩形翻折的4种题型，在解题的过程中，我们发现翻折问题中常用的方法就是找准直角三角形，通过设元，利用勾股定理，求出相应线段的长度。同时，我们发现，翻折后，会出现很多等角或者等边，其中隐藏着许多全等三角形，在计算时，要善于发现这些隐藏的全等三角形。

状态1：将∠B沿着CE翻折，使得点B的对应点E落在对角线AC上；

状态2：将∠B沿着CE翻折，使得点B的对应点E落在边AD上；

状态3：将∠B沿着CE翻折，使得点B的对应点E落在矩形外，联结DE；

状态4：翻折后，使得矩形的对角顶点A、C重合，折痕为EF。

(图中的阴影三角形往往是使用勾股定理解决问题的直角三角形)。

分析：(1)旋转后，易证▲ABD≌▲ACE，则BD=CF；AC=BC=BD+CD=CF+CD.(2)由第一问的分析可知，仍旧存在▲ABD≌▲ACE，此时AC=BC=BD-CD=CF-CD；(3)第三问主要考察画图(此时点E、F在点C下方），解题思路还是一致的。

对于动点移动问题，不管点怎么移动，解题思路不变(添加辅助线的方法不变)，其中的全等三角形不变，改变的是线段的和差关系。

     分析：(1)要求▲GFC面积，则先证▲EBF≌▲FGM,▲AEH≌▲EBF,则▲AEH≌▲FGM,则GM=AE=2，求得▲GFC面积为10；(2)延续第一问的思路，添线方法一致。联结HF后，易证▲EHF≌▲FGH，再证▲AEH≌▲FGM，得到▲GFC面积为12-a；(3)当▲GFC面积为2时，a=10.在Rt▲BEF中，求得EF=√164，在Rt▲AEH中，AH=√160>12，此时H不在边AD上，不存在▲GFC面积为2。