伟大的数学家欧拉和他的奇妙发现——关于倒数级数的和

1735年，著名数学家莱昂哈德·欧拉发表了论文“关于倒数级数的和”，如下图1所示。在本文中，数学大师找到了求和的一般公式：

  • 式1：整数的偶数次幂的倒数的和。

欧拉的方法吸引了无数的数学家。欧拉早在1734年就证明了巴塞尔问题。该结果将巴塞尔问题从指数2扩展到任何偶数指数。

  • 图1：欧拉和他的里程碑式论文“关于倒数级数的和”。

前三个例子是：

  • 式2：式1的第一个例子，k=1，2，3。第一个是巴塞尔问题，一年前由欧拉首次证明。

注意，式二2中的第一个例子是巴塞尔问题，欧拉在1734年就解决了这个问题。

  • 图2：1712年日本的关孝一（ Seki Kōwas）列出了二项式系数和伯努利数。

但在进行欧拉的精彩证明之前，必须先解释伯努利数的概念。

  • 图3：雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）是其家族中最著名的数学家之一，他发现了伯努利数。

伯努利数

这是证明的第一部分。我首先提醒读者泰勒级数的概念。泰勒级数可以定义为“函数关于一点的级数展开”。泰勒级数的主题非常广泛，所以我不打算在这里详细讨论它，我将只讨论一种情况，即指数函数e的展开式。它是由：

  • 式3：指数函数的泰勒级数。它的收敛半径为∞，因此对于x∈ℝ的所有值它都收敛。

e^x的收敛半径R为R=∞。这意味着式3是一个幂级数，对于x∈ℝ的所有值都收敛。

  • 图4：这个动画显示，当我们在式3中加入更多的项时，其值趋向于e^x。

现在，为了得到伯努利数我们需要两步。第一步很简单，等式3两边同时减去1，然后除以x，得到：

  • 式4：对方程3进行简单处理，得到函数(e^x-1)/x的泰勒级数。

对x≠0有效。伯努利数的定义如下:

  • 式5：伯努利数是如何（间接）定义的。

为了找到B，我们将使用一些数学技巧。因为式4和式5是彼此的倒数，它们的乘积是1。然后我们可以在等式的右边同时乘以n！

经过一些简单的代数运算，我们得到了一个很好的表达式，它允许我们确定伯努利数：

  • 式6：可以快速计算出伯努利数的方程。

那么得到的第一个伯努利数是：

  • 式7：由式6得到的第一个伯努利数。

正切函数及其幂级数

我们现在提供证明的第二部分。在这一节中，我们需要用伯努利数来表示tan x。让我们首先考虑以下特性：

得出：

  • 式8：伯努利数的幂级数。

现在我们执行两个简单的步骤。用2ix（其中i为虚单位）替换式8中的x，得到：

对式8的左边做同样的替换，我们得到：

  • 式9：用伯努利数表示的x cot x的幂级数。

然后我们用三角恒等式：

和式9，得出：

  • 式10：tanx的幂级数用伯努利数表示。

余切函数及其部分分式

现在是证明的第三部分，也是最后一部分。利用部分分式，欧拉得到如下展开：

  • 式11：对于非整数x，x cot πx的展开式同样由欧拉发现。

我们现在比较式9和式11，用πx代替前者中的x。经过一些简单的操作，我们得到了这个奇妙的表达式：

  • 式12：我们想要的结果。注意指数总是偶数。奇指数没有等价的展开式。

有趣的是，奇指数没有类似的公式。当k=1时，立方的倒数的和等于一个数字—1.20，称为Apéry常数，但没有像式12那样的一般公式。

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