“变更主元法”在解决“函数图像恒经过定点”问题及相关衍生问题中的运用
鸣谢
感谢南京王凯，北京谭计韬老师供题，于特指点，“初中数学草根学堂"各位老师的探讨，让笔者想起了三年前未能解决的一道老题。
例1：
若二次函数y＝x2＋(1－2m)x－m＋5的图像不经过第三象限，则实数m的取值范围是________
【分析】
本题应根据对称轴的位置进行分类讨论．
(1)若对称轴在y轴左侧，则应满足△≤0，或者ymin≤0
(2)若对称轴在y轴上或在y轴右侧，则根据图像所示，y(0)≥0
【解答】
【补充提问】
函数图像恒经过哪个定点？
【分析】
我们将关于x的二次函数转化为关于参数m的一次函数，
用含x的代数式作为一次项系数和常数项，
当一次项系数为0，求出x的值，即可知原函数图像恒经过的点．
此法可称为“变更主元法”，把原参(系)数作为现主元，用含原主元的代数式作为现主元的现参(系)数，使含原主元的代数式的值为0，问题得解。
【解答】
例2：
设不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤1的一切实数m都恒成立，则x的取值范围是__________
【分析】
同例1，将关于x的一元二次不等式视作是关于参数m的一元一次不等式，
但将其作为关于参数m的一次函数处理，
用含x的代数式作为一次项系数和常数项，
当一次项系数＞0，则函数值随m增大而增大，当m＝1时， 不等式＜0
当一次项系数＜0，则函数值随m增大而减小，当m＝－1时，不等式＜0
【解答】
例3：（2014·武汉压轴）
【分析】
（1）要求一次函数图像所过定点的坐标，只需将关于x的一次函数视作是关于参数k的一次函数，令k的一次项系数为0．
（2）将两个函数的解析式联立，先求出点A、B的坐标．设点P的横坐标为a，运用水平宽×铅锤高的“宽高公式”，用a的代数式表示△APB的面积，并建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出点P的坐标．
（3）设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，从条件∠ADB＝90°出发，可构造k形相似，从而得到m、n、t的等量关系，然后利用根与系数的关系建立含k为参数的关于t的方程，利用“变更主元法”，用含k的代数式作为t的系数，系数为0时，即可求出t的值，从而求出点D的坐标．
由于直线AB上有一个定点C，容易得到DC长就是点D到AB的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】
(1) y＝kx＋2k＋4
y＝(x＋2)k＋4
x＋2＝0，
x＝－2
∴定点C的坐标为(－2，4)．
（3）如图2，过点D作x轴的平行线EF，
作AE⊥EF，垂足为E，
作BF⊥EF，垂足为F．
∴ m＋n＝2k，mn＝－4k－8．
∴ －4k－8＋2kt＋t2＋4＝0，
即 t2＋2kt－4k－4＝0．
(2t－4)k＋t2－4＝0
∴ t＝2
以上几例只是对“变更主元法”最基本的一点探究，其中蕴含了转化，化归思想，对于求恒成立，图形过定点，求参数范围等例题，优势明显。若能灵活运用，必能事半功倍！
如
何
关
注