等边三角形与全等竞赛题

这道题对于刚学完轴对称和全等的同学们来说，算是比较难了，但难点不在于毫无头绪那种，而是多次全等的过渡。

首先有3个等边三角形，△ABC和△CDE有共同顶点C，

△CDE和△EKH有共同顶点E，

而关系条件只给出了一个AD=DK，

根据经验：两个形状相同的三角形绕着同一个顶点旋转，可以很容易想到三角形全等

那么由△ABC和△CDE组合，可得△ACD≌△BCE（SAS）

同理△CEH≌△DEK（SAS）

由两个全等可得BE=CH=AD=DK，

且∠ADC=∠BEC，∠EDK=∠BCE，

对于△HCD和△BED来说，

CH=BE，CD=DE，

只差夹角∠HCD=∠BED就可以全等了，

由于∠HCD+∠DCE+∠ADC=∠EDK+∠ADC=120°，

（别忘了A、D、K三点共线）

所以∠HCD+∠ADC=60°，

而∠BCE+∠BED=60°，

所以可得∠HCD=∠BED，

从而得到△HCD≌△BED（SAS）

因此BD=HD，∠HDC=∠BDE

所以∠BDH+BDC=∠CDE+∠BDC

得∠BDH=60°，

所以△BDH为等边三角形。

整个过程一共有三次全等，虽然每次全等的方法都是SAS，但第三次全等的角相等却相对不容易找到，而前两个全等使最容易发现的，所以容易得到四个线段相等，从而进行代换，而三点共线这个条件却往往容易被忽略，平角内有一个60°的∠CDE，那么它相邻的那两个角相加即为120°，这一点如果不关注三点共线，则容易忽视掉。