挑战压轴题：中考数学-高难度几何探究

这道题是九年级同学写作业的时候问的一道题，对于同学们来说算是比较有难度了，特别是对于不会活学活用的同学来说，无异于是超高难度题。当然，对于有能力的同学来说，只能算是中等难度。

看完这道题，是不是发现和以前老师推送的一道高难度勾股定理题很类似？确实，用的方法都是一样的。

（1）等边三角形不用多说，然后根据勾股定理可以得到第二个空的三角形是直角三角形，然后∠APB的度数也不用多说了；

关键看后两问：

（2）同样的方法，像这种探究题，大多数会沿用同样的方法去解答，

既然这一问的是正方形，那么我们就旋转90°，如图，将△PBC绕点B旋转90°至△AEB的位置，可知AE=PC，BE=BP且BE⊥BP，

那么可以得到PE的长度，

然后AE、PA、PE的长度都已知了，

就会发现它们符合勾股定理，

所以可以得到△AEP是直角三角形，而且AP是PE的一半，

所以∠AEP=30°，则∠APE=60°，

那么∠APB的度数就不用多说了；

（3）这一问着实有些难度，关键要从已知条件找突破点，并且结合前面所用到的方法，

我们可以看到题中给出了一个60°的角，但是这个角的位置明显有点扯淡，所以同学们会容易感觉不知道怎么用这个角的度数，

既然是60°角，何不构造一个等边三角形呢？

如图，我们知道BD=AC，那么我们将BD平移至CM的位置，并且连接MD并延长交AB于点N，则可以得到□BCMD，

而且∠ACM=∠BOC=60°，这样不就用上这个角了吗？

同时AC=CM，所以△ACM是等边三角形，

所以AM=AC=m，

而根据题中条件∠ADB-∠DBC=90°=∠ADB-∠BDN=∠ADN，

所以AD⊥MN，

所以DM²+AD²=AM²，

由于DM=BC，AM=m，

∴AD²+BC²=m²；

到此大功告成。

当然，既然可以平移BD，那么也可以平移AC，

如图，平移AC到BM，可以得到□ACBM，∠DBM=∠BOC=60°，

所以△BDM是等边三角形，

∴MD=BD=m，

过D作BC的平行线交BM于N，

则∠BDN=∠DBC，

∴∠ADN=90°，

又因为AM//BC//DN，

∴∠MAD=90°，

所以勾股定理可以用上了，

然后再替换一下线段就OK了；

这道题的难点就在于第三问，而切入点就是60°角的使用方法，如果不能想到利用60°和两个相等的线段去构造等边三角形，那么估计耗费几个小时也想不出来到底能干点什么吧？