无极残篇之二十八 古代数学与算筹记数

原著：无极道人

生死轮回一场梦，

迷悟只在一念间。

俊鸟出笼游太虚，

大道无极任逍遥。

上次我们讲到在春秋战国时期，数学上普遍采用算筹记数，古人使用算筹跟我们使用手机一样，大衍之数跟现在的二维码一样，我们各自都认为这是生活的常识，最基本的道理根本没必要解说，因此造成了现在的大衍数之谜。接下来我们继续讲解算筹记数的操作方法，看古人具体是如何使用算筹的。

如何使用算筹记数，据书中记载，有纵横两种排列方式。其中1至5的记数方法是以纵横方式，排列相应数目的算筹来表示；6至9的记数方法是以上面代表五的算筹，再加下面相应的算筹来表示。《夏阳侯算经》记载：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张。”这里的意思就是，在算筹记数法中，数五为纵横变化的转折点，具体来说就是，用纵式的时候，超过五的数就要把一根算筹横过来，由纵变横放在上方代表五；用横式的时候，超过五的数就要把一根算筹竖起来，由横变纵放在上方代表五。我们以前账房先生所用的算盘，学名珠算，就是据此原理而发明的。如果用算筹表示多位数，就需要纵横式交互使用。据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。这就是说，个位用纵式表示，十位则用横式，百位再用纵式，千位又用横式，以此类推，遇到零则空一位。（如图所示）

多位数使用纵式和横式两种不同的摆法，是因为十进位制的需要。十进位制，又称十进位值制，我们则俗称为十进制，它包含两方面的含义：其一：是十进制，即每满十数进一个单位，十个一为十，十个十为百，十个百为千，以此类推；其二：是位值制，即每个数码所表示的数值不仅取决于这个数码本身，还取决于它所处的位置。比如同样是一个数码5，在个位上表示5，在十位上就表示50，在百位上就表示500，在千位上就表示5000，以此类推。由于算筹记数法的每个数码都有固定摆法，且位与位之间能纵横变换，所以既不会混淆，也不会错位，是十分合理而科学的，这和我们现代十进制记数法是完全一致的。

十进制的出现很早，在商代的文字记数系统中，就已经出现了十进位值制的萌芽，到了春秋战国普遍使用算筹记数和运算时，就是标准的十进位值制了。中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，中国古代数学能取得许多卓越的成就，在一定程度上归功于算筹记数法。算筹记数法的十进制具有如此重要的意义，那么这也就是我们揭开大衍数之谜的关键。

我们回过头再看一下《易经·系辞上传》第九章：“天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。天数五，地数五，五位相得而各有合。天数二十有五，地数三十，凡天地之数，五十有五，此所以成变化而行鬼神也。大衍之数五十，其用四十有九。”其中“天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。天数五，地数五，五位相得而各有合。”这段话写在大衍之数前面，具有什么特殊意义呢？跟十进制记数有什么关联呢？我们下次再为大家讲解。

无极道人乘鹤去，

空留残篇八十一。

谁能解得其中意？

不枉人间走一回！