关于利率期限结构理论及模型的研究
内容提要
文章首先介绍利率期限结构的三种理论，再对常见的利率期限结构模型进行讨论，最后着重介绍静态估计方法Nelson-Siegel模型及其应用，以期为加深利率期限结构模型的理解提供参考。
利率是金融领域的一个核心变量，它实质上代表了资金的价格，反映了资金的供求关系。利率期限结构是指某个时点不同期限的即期利率与到期期限的关系及变化规律。不同期限的债券会有不同的收益率，会形成特定的利率期限结构，它体现了收益率和期限之间的关系，可以用收益率曲线来直观表达。
因其基准作用，对利率期限结构的研究和应用逐渐受到更广泛的关注，尤其是国债收益率曲线反映了某一时点上国债到期收益率与到期期限之间的关系，是无违约风险利率水平的集中体现，是金融市场的基准利率，是投资者判断市场趋势的风向标。国债收益率曲线作为预测未来利率、经济增长和通胀预期的工具，有利于更好地发挥货币政策的调控效果。随着我国利率市场化进程的推进，对利率期限结构的研究有着更为重要的理论和现实意义。
一、利率期限结构的三种理论
利率的期限结构曲线，描述的是利率和期限时间长度的对应关系。这个依赖关系通常被称为收益率曲线，其横坐标是期限的时间长度，纵坐标是利率水平。债券的收益曲线是其它债务工具，例如抵押贷款利率和银行贷款利率的基准，而且这些曲线形状的变动可以用来预测经济产出及其增长的变动。收益率曲线一般具有以下三个特征：不同期限的债券收益率有同向运动的趋势；收益率曲线通常倾向于向上倾斜；短期债券收益率的波动通常要比长期债券收益率的波动大。为了解释这些特征，研究者针对这三个特征提出了利率期限结构的三种理论：纯预期理论、流动性偏好理论及市场分割理论。
（一）纯预期理论
该理论假设把当前对未来利率的预期作为决定当前利率期限结构的关键因素。该理论认为，投资者对于债券的期限没有偏好，债券之间可以完全替代，长期债券利率等于债券到期期限内所有短期利率预期值的平均值。简单来说，预期理论在假设中剔除了利率风险和再投资风险，认为远期利率是对未来即期利率的无偏估计。如果买卖债券的交易成本为零，而且上述假设成立，那么投资者购买长期债券并持有到期进行长期投资时，获得的收益与同样时期内购买短期债券并滚动操作获得的收益相同。根据未来预期收益的不同，收益率曲线存在不同形状。该理论可以表示为以下公式：
其中，i为利率，t为时期，e为预期，n为到期期限。
由上述公式可以看出，it的变动会引起t+1, t+2, ..., t+(n-1)时刻的利率预期值的变动，解释了不同期限的利率会随着时间的推移同方向变动的特征。求平均对于波动有平滑作用，因此期限越长的利率波动越小。但是预期理论难以解释为什么收益率曲线通常向上倾斜，因此，该理论在解释利率期限结构方面存在着一定的缺陷。
（二）市场分割理论
该理论假设不同期限的债券所在的市场之间完全无关，投资者有各自的投资期限偏好，并且偏好不变。利率曲线的形状由短、中和长期市场的各自供求关系决定，投资者和债券的发行者都不能无成本地实现资金在不同期限的证券之间的自由转移。考虑到利率风险和再投资风险的溢价因素，长期债券的价格较低，收益率较高，所以典型的收益率曲线向上倾斜。但是由于有着不同期限债券市场无关的假设，该理论的缺陷是无法对收益率的同向运动和短期利率波动大于长期利率波动的情况做出解释。
（三）流动性偏好理论
该理论是预期理论与市场分割理论结合的产物，认为不同的债券之间存在一定的可替代性。该理论认为长期债券的利率应当等于两项之和，第一项是长期债券到期期限内所有预期短期利率的平均值；第二项是基于债券供求关系的流动性溢价。长期债券与短期债券之间是有条件的可替代。该理论可以表示为以下公式：
其中，i为利率，t为时期，e为预期，n为到期期限，lnt为t时点n期债券的流动性溢价。流动性偏好期限理论很好地解释了收益率曲线的三个特征，因此该理论是利率期限结构理论中最广为接受的理论。
二、Nelson-Siegel模型和Nelson-Siegel-Svensson模型
与上述非参数的方法对比，拟合利率期限结构还有动态和静态参数估计两种方法。静态估计方法着重于在有限数据样本下，找到对数据最佳拟合的收益率曲线。动态估计方法是对利率的随机过程进行建模，又分为均衡估计方法和无套利估计方法两类。均衡估计方法一般从经济理论出发，根据市场的均衡条件得出利率须遵循的过程；无套利估计方法则是根据各个资产之间必须满足的无套利条件来推导利率的发展过程。接下来要详细介绍的Nelson-Siegel模型就属于静态估计方法。
Nelson-Siegel模型是Nelson和Siegel在1987 年提出的一个参数拟合模型，用整体拟合的方法构造静态的利率期限结构。该模型将利率期限结构分解为水平、斜率和曲率三个部分，分别用来解释实际中的远期利率市场预期、债券的风险溢价以及凸性偏离。Nelson-Siegel模型将约束条件体现在因子载荷之上，先是构建了一个用参数表示瞬时远期利率的函数：
根据即期利率和瞬时远期利率之间的关系，通过对远期利率的积分取平均值，可以得到即期利率的函数形式：
其中，t表示剩余期限，β0、β1、β2为三个参数，τ1是一个时间常数，决定了β1因子负荷的衰减速度和β2的因子负荷的极值点。参数β0、β1、β2跟随的因子负荷代表了不同的期望利率。β0、β1、β2这三个参数分别对应着利率期限结构的水平的变化、斜率的变化以及曲度的变化。参数β0的因子负荷恒为1，即β0不随着期限的增加而变动，可以理解为收益率曲线的水平因子。β1的因子负荷为exp(-t/τ1)，随着t的增加从1变为0，表明β1对短端利率的影响较大，代表了收益率曲线的斜率因子。β2的因子负荷为[(t/τ1)∙exp(-t/τ1)]，先增后减，主要对中期利率造成影响，对短期和长期利率影响较小，代表了收益率曲线的曲率因子。通过对上述三种形态的组合，可以生成各种形态的期望远期利率，进而生成各种形态的利率期限结构。
Nelson-Siegel模型最主要的优点就是需要估计的参数比较少，而且每个参数都有相应的经济含义，能较好地刻画利率曲线的不同情况及变动情况。该公式中只有β0、β1、β2、τ1这四个参数，通过最小二乘法选取实际数据，可以拟合出收益率曲线。但是该模型只引入了一个曲率参数，因此对于具有多个局部最大和最小的曲线拟合效果不好。Svensson在1994年对Nelson-Siegel模型进行了扩展，在Nelson-Siegel的三因子模型基础上再加上第四个因子，引入了第二个曲率参数，构建出Nelson-Siegel-Svensson模型。新引入的曲率参数反映了曲线波峰、波谷的大小，并对曲线趋势的曲度进行微调。该方法提高了模型计算短期债券价格的灵活性以及对形状复杂的利率期限结构的拟合能力，可以拟合更加复杂的曲线例如多峰曲线，拟合精度也有所提高。但与此同时，由于Nelson-Siegel-Svensson模型的两个曲率参数之间存在相关性，对于参数的设置非常敏感，很容易造成该模型表现出一定的共线性，导致该模型具有不稳定的可能性，无法得到准确线性回归的结果。
三、应用及发展
由于Nelson-Siegel模型等参数拟合模型具有参数经济意义明显且参数数量较少的特点，在实际研究中经常被应用在收益率曲线拟合、绩效归因分解等领域。
固定利率国债在发行主体上无差异且无须考虑债券违约所导致的风险溢价，其定价方法较为直接，主要的根据就是国债市场无风险收益率曲线。在以函数设定为基础的无风险收益率曲线拟合方法中，Nelson-Siegel模型被多国央行采用。对于债券型基金的绩效分析，需要具体到对债券收益率来源的分析，而影响债券收益率的因素中包括基准利率曲线的变动。通常来说，基准利率曲线的变动包括三种形态，分别为曲线的平移、扭动和蝶形，而这三种形态变化又可与前文提到的水平、斜率和曲率三个因素即Nelson-Siegel模型中的三个参数联系在一起，可以通过三参数的变动来获得三种变动对收益率变动的贡献。
但此类模型也有一些较为明显的缺陷，例如该静态模型并不具有预测功能，进行拟合时需要先预设部分参数来设定曲线的形状，算法较为复杂，计算速度比较慢等。近年来，针对这些缺陷，研究学者不断进行改进，其中最为著名的是Diebold和Li在2006年提出了动态Nelson-Siegel模型，并通过两个阶段来估计模型的参数及动态演化机制。该模型先用最小二乘法估计Nelson-Siegel模型的三个因子，得到三因子的时间序列数据；然后用一阶自回归AR（1）来拟合参数变化，得到动态的利率期限结构，使得该模型对收益率曲线具有预测性。
利率在宏观经济中的重要性和期限结构对宏观经济的预测功能促使研究者将利率期限结构与宏观经济模型相结合，不断对宏观金融模型进行改进。在利率期限结构的三种理论方面，市场分割假设逐渐地被人们所遗忘。因为随着市场的发展、技术的进步及市场交易规模的扩大，市场已经逐渐形成一个统一的整体；而且市场预期假设如果没有同流动性溢价相结合，会造成定价不公允的现象产生，流动性溢价也呈现出不断变化的特征。因此，今后的研究方向应该是在市场预期假设的模型框架中引入流动性溢价假设。在利率期限结构静态估计方面，基本上以参数拟合的方法为基础来构建模型进行讨论。为了保证估计的精确性，数据样本的选择越来越复杂。随着时间的变化，不同时间范围内适用的模型可能会发生改变。因此还需在实际应用中不断探索，从模型拟合的精度，经济含义，对数据的处理能力，和是否能较全面地反映市场信息等多方面进行考量，选出最为适合的模型并不断进行优化。
作者：田琦程，中国邮政储蓄银行