【好文必读】你值得拥有的解题习惯

解题是一种能力,也是一项技术,要讲究科学遵循规律才能取得最佳效果。

比如要在赛跑中得到好成绩,就要训练跑步的步频步幅、身体的倾斜角度、摆臂动作、呼吸节奏等达到最佳状态,这样才能更充分地发挥身体能量,获得更出色的竞技效果。

解题也是一样,你的解题动作和习惯也要讲究方法和规范,才能充分发挥能力,达到最佳状态,获得更准、更快、更好的解题效果。

解题过程可以分解为这些系列动作:心态调整、审题析题、建模解模、检验核查、总结反思、拓展延伸。如果是考试,因时间紧迫最后两个动作可以省略。对每个动作的时间分配、方法要领要形成习惯,不断优化。

当然解题习惯也因人而异,不能一概而论,要根据自己的优势和缺点加以调整优化,达到自己的最佳状态。比如,读题和理解能力弱的同学在审题时要慢一点,要做好圈画标注,在准确审题的基础上逐步提升速度;计算容易出现低能错误的同学要注意调整心态、训练专注力,并严格按照做一步确认一步的要求进行。

下面探讨一下如何科学合理地训练解题过程的各个动作要领,以更有效地提高解题准确性和速度,同时训练和提升思维能力。

一、心态调整

你应该保持平和、自信的心态,遇到简单的问题,不应轻视,遇到疑难的问题,不应惧怕。你应该暗示自己:既然题目是人为设计的,那么它就是可以用所学知识解决的,只要把所学知识概念与题目条件相联系并建立数学模型,必然可以解决该问题。如果暂时无从下手也不要急躁不要放弃,再回到题目本身,看哪个条件还没有充分利用,看结论需要什么条件才能求得,看它属于哪一类问题,联想与之相关的基本模型和常用方法是什么,试一试平时总结的一般原则、策略、方法。你的坚持与韧劲会带你体验峰回路转柳暗花明的奇妙境界,最终给你以喜悦和信心。

二、审题析题

审题不应求快,审题如出偏差,则后续一切工作都是南辕北辙的无用功。你应逐字逐句读题,并作圈画标注。(敲黑板)这个简单的习惯很重要!圈,是圈住关键的、易遗漏的、易混淆的条件信息,特别是某些限制性条件,往往最易会被忽略。画,是画图表帮助理解分析题意,如在行程问题中画线段示意图分析数量关系,几何题中画出必在的图形或辅助线。标,是在图形中把相关条件数据标明,数据可以是具体数值,也可以是表达式。注,注解题目条件所含的隐藏信息,如方程或函数的最高次项系数不为零,分式的分母不为零,二次根式的被开方数为非负数,偶次方和绝对值的结果为非负数等。这样做的好处是大大地,一是可以减少不必要的失误,二是减轻大脑工作的负荷。“圈画标注”的目的都是把信息标示显现在纸上,一目了然让眼睛看得见,就像电脑程序把数据储存在硬盘,在需要使用时才调入内存进行运行处理,否则若把所有数据都存放在内存,就会导致内存过载而死机。据研究,人脑的工作记忆一般只能处理4个信息单位,多了就会使大脑不堪重负而易混淆遗漏出错,所以题目的已知条件或中间结果尽量明确标示出来,以减轻大脑工作记忆的负担。

分析题目的基本方法有:观察联想,猜测推理,可视化,简单化。总的来说要把题目的条件信息与所学的知识模型相联结,使未知问题转化为已知问题,复杂问题转化为基本问题,找到解决问题的最佳路径。

三、建模解模

笛卡尔说:“一切问题都可以化归为数学问题,一切数学问题都可以化归为代数问题,一切代数问题都可以化归为方程问题。”任何数学问题都是利用数学模型解决的,每一个数学概念和数学规则都是一个基本模型,模型化是一种重要的数学思想方法。解决数学问题就是根据条件建立数学模型,再利用此模型建立数量关系求解。所以首先要熟练掌握各种基本的数学模型,然后才能在具体问题中识别和应用模型解题。

如何选择和构建数学模型呢?

1.有则组之:根据题目条件特征,先看题中的条件信息是否有关联,若有,把它们组合联系构成完整的数学模型。比如具备边角相等关系的可寻找全等模型,具备特殊角的可寻找三角模型。

2.缺则补之:若没有已存在的现有模型,再是否具备某种模型的部分条件,若有,则可以添补所缺元素构造为完整的数学模型。比如图形已具备一边一角相等,可再添加一边或一角条件构造全等模型,已有特殊角但没有直角可作垂线构造直角三角形,已有共圆条件的可添加辅助圆。

3.无则变之:若题中信息孤立分散没有关联,解法思路隐藏较深,看不出与之相关的模型,则应观察题中条件是否存在某种变换关系,若有,把关键图形进行整体变换得到新图形,从而产生完整的数学模型。比如具备共点等线条件的,可把相关图形进行旋转;具备共线等角条件的,可把相关图形进行翻折;具备线段和差关系的,可把其中线段进行截长补短;具备线段比例关系的,可把有关图形进行缩放变换。

注意,方程是解决数学问题的通用模型,也是基本思想,若问题中的数量不易直接计算,则应建立方程求解。

在寻找解题方法时,你应该牢记解题的黄金法则:“条件用足,模型完整,则题目必解”。“条件用足”指题中给出的所有相关条件得到充分利用,“模型完整”指相关条件产生联系形成完整模型可以进行下一步计算和推理。“模型完整”与“条件用足”是等价的,条件未用足说明模型不完整导致条件无法产生联系,模型不完整或找不到就是因为条件孤立分散无法利用。

四、检验核查

1.细查:在进行运算或推理时,要保证每步准确,减少以至消灭低级失误,你应该在进入下一步之前审查该步是否正确无误,如有没有看错看漏,有没有写错算错,有没有误用定理,有没有误解题意,有没有遗漏其它可能存在的情况,有没有不合题意需要舍弃的情况。如同在进行电脑程序操作时,一般在下一步动作之前会弹出“确认”按钮,这就是为了防止误操作而造成难以挽回的损失。你若养每步必查的成习惯,在解题过程中不断地在脑中弹出“确认”对话框,就会大大降低出错的概率。

2.略查:对问题的答案作粗略的合理性评估,如所得数值是否在合理范围,所得结果是否符合实际意义。对明显错误的结果要有甄别意识,如明明抛物线开口向下,你求出的二次项系数却是正数,题目要求的是一个人的身高,你竟给出了一个15米的答案,题目问的是时间,你却得出一个负数,这些错误只要稍加留意就会发现。另外,还有解答完整性和规范性的检查,如未知数有没有明确设出,题目所问问题有没有交待结论,书写会不会引起误解等。

3.巧查:取特殊值代入关系式看是否成立,把不定图形放到极端位置看关系式是否成立。

五、总结反思

要想思维能力得到实实在在的锻炼和提升,必须进行解题后的总结反思。

1.总结本题所用的具体模型和思路,明确其思考切入点和具体方法。

2.概括本题的一般特征,归入某一类问题,明确其辨别线索和解题策略。

3.抽象提炼解决问题的一般规律和基本原则,它可以用于其它所有问题。

可以对照联系本书所述的基本原则、一般策略、常用方法、特定模型在解题中的应用,通过总结反思进一步强化和熟悉对它们的掌握程度。

策略方法类知识必须在实践中有意识地清晰感知,并一以贯之地反复使用,才能融入自己的思维体系并不断发展、丰富、完善。

六、拓展延伸

1.一题多解,多解归一。本题能不能用其它知识模型解决?能不能换个思路解决?最简洁高效的方法是什么?多种解法的相互联系和共同本质是什么?

2.一题多变,多题归一。本题还能得到哪些结论?能不能把条件和结论交换?能不能把某些条件作同类变换?能不能进行一般化、特殊化?题目变化后的不变规律是什么?

解题过程中,你应该不断重复以下的自我问询:

是否始终贯彻了解题黄金法则“条件用足,模型完整,则题目得解”?

题目条件与什么知识模型有联系?

还有条件没有得到有效利用吗?

该题属于哪一类型的问题?

此种类型的常用方法是什么?

决问题的原则与策略如何在本题运用?

简单化原则的“进退、损补、分合、动静、数形”诸法应用了吗?

再次强调,习惯的形成需要一个一以贯之持之以恒的过程,每一次的行动都是你存进习惯银行的一份资金,习惯养成之时就是你坐收巨额利润之日。


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