五十道行程问题详解四

18、一个圆的周长为60厘米，三个点把这个圆圈分成三等分，3只甲虫A、B、C按顺时针方向分别在这三个点上，它们同时按逆时针方向沿着圆圈爬 行，A的速度为每秒5厘米，B的速度为每秒1．5厘米，C的速度为每秒2．5厘米．问3只甲虫爬出多少时间后第一次到达同一位置?

解：我们先考虑B、C两只甲虫什么时候到达同一位置，C与B相差20厘米，C追上B需要20÷(2．5-1．5)=20(秒)．而20秒后每次追及又 需60÷(2.5-1.5)=60(秒)；再考虑 A与C，它们第一次到达同一位置要20÷(5-2．5)=8(秒)，而8秒后，每次追及又需60÷(5--2．5)=24（秒)．可分别列出A与C、B与 C相遇的时间，推导出3只甲虫相遇的时间

解：(1)C第一次追上B所需时间20÷(2．5-1．5)=20(秒)．

(2)以后每次C追上B所需时间： 60÷(2．5-1．5)=60(秒)．

(3)C追上B所需的秒数依次为： 20，80，140，200，…．

(4)A第一次追上C所需时间：20÷(5-2．5)=8(秒)．

(5)以后A每次追上C所需时间：60÷(5--2．5)=24（秒)

(6)A追上C所需的秒数依次为： 8，32，56，80，104…．

19、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。

解：先画图如下：

【方法一】 若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。

同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B间的距离。

50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分）

（80+50）×6＝130×6=780（米）

答：A、B间的距离为780米。

【方法二】设甲的速度是x米/分钟

那么有(x-50)×26=(x+50)×6

解得x=80

所以两地距离为(80+50)×6=780米

20.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快，两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

解析：由甲、乙两人下山的速度是上山的1.5倍，有：

⑴甲、乙相遇时，甲下山600米路程所需时间，相当于甲上山走600÷1.5=400米的时间。所以甲、乙以上山的速度走一小时，甲比乙多走600+400=1000米。

根据⑴的结论，甲以上山的速度走1小时的路程比山坡长度多400，所以山坡长3600米。

1小时后，甲已下坡600米，还有3600-600=3000米。所以，甲再用3000÷6000=0.5小时。

总上所述，甲一共用了1+0.5=1.5小时。

评注： 本题关键在转化，把下山的距离再转化为上山的距离，这种转化是在保证时间相等的情况下。通过转化，可以理清思路。但是也要分清哪些距离是上山走的，哪些是下山走的。