八下数学必考题型之辅助线6种常考问题

01

如图,∠E=∠B+∠D,猜想AB与CD有怎样的位置关系,并说明理由.

【分析】延长BE交CD于F,通过三角形外角的性质可证明∠B=∠EFD,则能证明AB∥CD.
【解答】解:延长BE交CD于F.
∵∠BED=∠B+∠D,
∠BED=∠EFD+∠D,
∴∠B=∠EFD,
∴AB∥CD.
解法二:如图,过点E作∠BEF=∠B(EF在∠BED内),
所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行),
因为∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D(已知),∠BEF=∠B(已作),
所以∠FED=∠D,所以CD∥EF(内错角相等,两直线平行)
所以AB∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行).
02

(2016·十堰)如图,AB∥EF,CD⊥EF于点D,若∠ABC=40°,则∠BCD=(  )

A.140°       B.130°       C.120°       D.110°

【分析】直接利用平行线的性质得出∠B=∠BCG,∠GCD=90°,进而得出答案.
【解答】解:过点C作CG∥AB,
由题意可得:AB∥EF∥CG,
故∠B=∠BCG,∠GCD=90°,
则∠BCD=40°+90°=130°.
故选:B.
03

如图,AB∥CD,P为AB,CD之间的一点,已知∠2=28°,∠BPC=58°,求∠1的度数。

【解答】解:过点P作射线PN∥AB,如图1所示
因为PN∥AB,AB∥CD, 所以PN∥CD
所以∠4=∠2=28°
因为PN∥AB,所以∠3=∠1
因为∠3=∠BPC-∠4=58°-28°=30°
所以∠1=30°
04

(1)如图1,若AB∥DE,∠B=135°,∠D=145°,求∠BCD的度数.

(2)如图1,在AB∥DE的条件下,你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗?并说明理由.

(3)如图2,AB∥EF,根据(2)中的猜想,直接写出∠B+∠C+∠D+∠E的度数

【解答】解:(1)如图,过C点作CF∥AB,所以∠B+∠BCF=180°
因为AB∥DE,所以CF∥DE
所以∠FCD+∠D=180°
所以∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=180°+180°
即∠B+∠BCD+∠D=360°
所以∠BCD=360°-∠B-∠D=360°-135°-145°=80°
(2)∠B+∠BCD+∠D=360°,
理由:如图,因为CF∥AB
又因为AB∥DE,所以CF∥DE
所以∠B+∠BCF=180°
所以∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=180°+180°
即∠B+∠BCD+∠D=360°
(3)∠B+∠C+∠D+∠E=540°
05

如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由.

【分析】过点E作EF∥AB,根据∠ABE=125°可求出∠BEF的度数,进而得出∠FEC的度数,由此可得出EF∥CD,故可得出结论.

【解答】解:AB∥CD.
理由:过点E作EF∥CD,
所以∠FEC=∠DCE=35°.
因为∠BEC=95°
所以∠BEF=95°-35°=60°
又因为∠ABE=120°
所以∠ABE+∠BEF=180°
所以AB∥EF
又因为EF∥CD,所以AB∥CD.
06

如图,AB∥CD,BE平分∠ABF,DE平分∠CDF,∠BFD=120°,求∠BED.

【分析】连接BD,过F作FG∥AB,由AB∥CD,得到FG∥CD,利用两直线平行内错角相等,得到两对角相等,进而求出∠ABF+∠CDF的度数,由BE平分∠ABF,DE平分∠CDF,利用角平分线定义得到∠EBF+∠EFF的度数,在三角形BFD中,利用内角和定理得到∠FBD+∠FDB的度数,进而求出∠EBD+∠EDB的度数,求出∠BED度数即可.

【解答】解:连接BD,过F作FG∥AB,由AB∥CD,得到FG∥CD,
∴∠ABF=∠BFG,∠CDF=∠DFG,
∴∠BFD=∠ABF+∠CDF=120°,∠FBD+∠FDB=60°,
∵BE平分∠ABF,DE平分∠CDF,
∴∠EBF+∠EDF=

(∠ABF+∠CDF)=60°,

∴∠EBD+∠EDB=∠EBF+∠EDF+∠FBD+∠FDB=120°,
则∠BED=60°.
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