压轴题打卡107：相似形综合题

如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，E为AD边上一动点（不与点A重合），AF⊥BE，垂足为F，GF⊥CF，交AB于点G，连接EG．设AE=x，S_△BEG=y．

（1）证明：△AFG∽△BFC；

（2）求y与x的函数关系式，并求出y的最大值；

（3）若△BFC为等腰三角形，请直接写出x的值．

参考答案：

考点分析：

相似形综合题．

题干分析：

（1）先判断出∠GAF=∠FBC，再判断出∠ABF=∠GFC即可得出结论；

（2）先判断出AF/BF=EA/AB．再表示出AG=EA·BC/AB=4x/5，BG=5﹣4x/5．最后用三角形的面积公式即可得出结论；

（3）分三种情况讨论利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质即可得出结论．

解题反思：

此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判断和性质，锐角三角函数，矩形的判定全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是得出∠ABF=∠GFC，解（2）的关键是得出AG和BG，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题，是一道中等难度的中考常考题．

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