“极限”定义的两种方式：“二逼青年式”和“严谨数学家式”

无穷的概念，是人类数学的伟大发现，无穷是解决复杂问题的利器工具，而无穷总要收归到有穷，才能求解问题，于是就有了极限。所以，极限是研究无穷小的工具。

研究极限的概念，一个经典的开始例子，便是关于运动速度的例子。

如下图所示，图中曲线是一个运动的描述方程：

位移-时间函数

如何得知从t=0到t=0.5的这段时间内，物体运动的平均速度是多少呢？

我们知道平均速度是定义为：

平均速度的定义

所以，从 t=0 到 t = 0.5这段时间内，平均速度就可以这样计算：

同时可以发现：

平均速度的值，就是函数图像上这两个点之间直线（割线）的斜率：

在现实中，我们经常说“现在车速120km/h”, 如果问在上述运动里， t=0.5 时，瞬时速度是多少？这个说法有时想起来也许有点矛盾，在一个点时刻的运动速度到底是指的什么呢？

考虑从 t=0.5 到稍后很短时间 h 内的平均速度：

在h的短暂时间间隔里，物体也许运动的距离肉眼无法察觉，但平均速度还是可以按照其定义计算出来：

化简一下，得到

不管是取如何小的h，我们总能得到一个足够接近于5的数。或者，从函数的图像上比较直观明显，当终点非常接近A的时候，函数值也是趋近于A处的函数值。

当h趋近于0时，v趋近于5，这正是瞬时速度的定义和意义。所以从这个意义说，瞬时速度是无穷情况下的一种趋势。

t = 0.5 的瞬时速度，是h接近0时割线AB的斜率，而由于B与A无限接近，直线AB 的斜率，也就趋近于A点切线的斜率值。

这就是对于极限概念的一种具像化的理解。

但从数学上如何定义极限呢？这里有两种定义方法：

极限的“普通青年式”定义

注意：

这个定义对于理解极限，是有帮助的，但是在数学上来说并不严谨精确。充分，任意，都是一种模糊的语言。

极限的“数学家”定义

严格的极限定义如下：

这个极限的定义 特别注意这几点：

如果我们要证明一个函数在某点 x 处的极限是L，就需要严格按照这个定义：

取任意小的正实数ε，证明存在一个正实数δ，在 x 前后 δ 范围的开区间里，任意的x对应的函数值与L的绝对差值均小于 ε。