古文中的数学意境 | 张奠宙：愚公原理和数学归纳法

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愚公移山的故事是说，愚公要移去太行、王屋二山．河曲智叟笑而止之曰：“甚矣，汝之不惠．以残年余力，曾不能毁山之一毛，其如土石何？”北山愚公长息曰：“汝心之固，固不可彻，曾不若孀妻弱子．虽我之死，有子存焉；子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”河曲智叟亡以应．

以数学的眼光来看，这是涉及有限和无限的绝妙论述．山，是有限的 M，人每天能移动的山石更是有限的．然而，愚公家族是无限的．无限个ε之和必定能超过有限的 M，有限的山终究能够被移走．愚公如此精妙论述，让智叟无言以对．但是，愚公家族的无限性是有条件的，即需要“子又生孙，孙又生子，子又有子，子又有孙”．也就是说，上帝必须保证愚公的每一代的男性后代都有男性的下一代．在此条件下，愚公家族才能“无穷匮也”．综上所述，我们就可以得出以下的愚公原理：

「愚公原理」 倘若愚公及其子孙的每一代都能生出子孙，则愚公家族是无限的．

这一段话，用现代的数学语言写下来就是：“如果愚公本人能够生育男性后代，且第代能够生育第n ＋１代的男性后代”，则愚公家族是无限的．

写到这里，数学归纳法已经呼之欲出．为什么数学归纳法要做“假定某论断对n 正确能够推出对＋１也正确”的验证，也无需再多费笔墨了．

中国古代文化中有灿烂的数学文明，即使在其他经典文献中，也会有现代数学的意境．记得早年我们发现“一尺之棰，日取其半，万世不竭”和极限的意境相通，曾经非常惊讶：想不到中国文化经典里竟有与微积分学极限过程有关的思想．其实，这样的例子还有不少．如“只在此山中，云深不知处”的意境与“存在性数学问题”意境相通，苏轼的《琴诗》是反证法的具体运用，等等．现在，愚公移山的故事又给我们提供了新的例证．

笔者已经进入耄耋之年，无力走上讲台进行实际教学试验．粗粗想来，愚公的“子又生子，孙又生孙”的这一“生”的意义，更加贴近学生的认知过程，比起多米诺骨牌效应，更加生动．事实究竟如何？盼有兴趣的读者能够将之付诸实际教学，并将结果告知一二，以作进一步探讨．