四年级：美妙数学之“牛吃草”问题（0331四） / 开普饭

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亲爱的同学，你好！我是朱乐平数学名师工作站的陈通老师，来自杭州市崇文教育集团。

今天与你分享的内容是：“牛吃草”问题。

美美，你知道“牛吃草”问题是怎么来的吗？

牛吃草问题又名牛顿问题，因由牛顿提出而得名。英国著名的物理学家牛顿曾编过这样一道题目：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天？这种类型的题目就叫做牛顿（牛吃草）问题，亦叫做消长问题。

那什么是牛吃草问题？

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。

怎么样解决“牛吃草”问题呢？

以牛顿提出的问题为例：

牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天？

我们一起来分析分析吧！

首先，由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决牛吃草问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。

其次，通过分析确定解题环节前2步：

（1）求出每天长草量；

（2）求出牧场原有草量。

然后，我们通过线段图来进一步分析

把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛（22-10）天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。

设一头牛1天吃的草为一份。

那么10头牛22天吃草为1×10×22=220（份），

16头牛10天吃草为1×16×10=160（份）

（220-160）÷（22-10）=5（份），说明牧场上一天长出新草5份。

220-5×22=110（份），说明原有老草110份。

求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究，用其中一部分吃掉新长出的草，用另外一部分吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。

110÷（25-5）=5.5(天)，就能算出一共多少天。

如果想求出有多少牛，那么题目一定会告诉原来的草量，方法就和求草一样。可以先写出求草的算式，再带入数字。

天天和美美，听了上面的而分析，你们能总结出“牛吃草”问题的一般方法了吗？

牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，也能找到另一个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。

基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定两个不变的量。

基本公式：
生长量=（较长时间 × 长时间牛头数 - 较短时间 × 短时间牛头数）÷（长时间 - 短时间）；

原有草量= 较长时间 × 长时间牛头数 - 较长时间 × 生长量。

天天、美美，你们真是太了不起了！小朋友，你是否也能像他们一样独立解决这个问题呢？也可以把你的想法介绍给你的爸爸妈妈听，他们一定会为你竖起大拇指的！

小结

牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，也能找到另一个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。

同学们，一年之计在于春，一日之计在于晨。光阴似箭、日月如梭，学习总是在每一堂课、每一次思考中积累而成的。
认真学习的你，会发现学习中蕴涵着无穷的快乐！今天的学习就到这里，咱们明天再见啦！