一道三角形面积最大值问题

《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。

原题呈现

如图，边长为1的正方形ABCD中，以B为圆心，AB长为半径画弧，点P为弧上一点，连接PD，将PD绕点P逆时针旋转90°得到PE，连接BE，求△PBE的面积最大值。

图文解析

法一：（等腰直角构K型）

如下图，易证△EFP≌△GPD，所以EF=PG，因为BP定长，故△BPE面积最大则EF=PG最大，也就是BG最大，根据斜大于直，有BG≤BD，所以BG=BD=√2时BG最大。所以EF的最大值为√2-1，所以△EBP面积最大值=(√2-1)/2.

方法二：瓜豆+阿圆

构等腰直角△OBD，相似可得OE=√2BP=√2，故点E在以O为圆心，√2为半径的圆弧上运动（图中红色圆弧）

目标△BEP中BP=1定长，但其位置不定，能否转化△BEP呢？直觉下连接AE，可否证明△BEP≌△BEA，画板验证全等成立，如何证明呢？分析易知AB=BP，BE为公共边，故只需证明AE=EF，因为DE=√2EP，只需证明DE=√2AE.

由前面分析知点E在圆上，平面内一点到两定点的比值k(k≠1)一定，则动点运动轨迹是圆，则定有AE:DE=1:√2那么如何证明呢？

由等腰直角△BOD可证OB²=OA·OD，因为OB=OE，所以OE²=OA·OD，再由∠AOE=∠EOD，所以△AOE∽△EOD，所以DE=√2AE，所以AE=EP，则△ABE≌△PBE。