你看，那座桥是不是可以拆几根梁？

你还在为节点法方程太多解不出来而发愁吗？还在因搞不清楚截面法的分割位置而困惑吗？阅读本文，抛弃“垃圾”方法。不用复杂计算，一样可以求出桁架受力。平面简单桁架，真的很简单！

节点法与截面法[1]

本文为大家带来一种在国内教材上几乎不出现的方法——麦克斯韦图。该法通过绘制受力分析图，通过测量图中力的长度即可得知力的大小。在解决平面简单桁架问题时，麦克斯韦图通常是一种十分简便的方法。

桁(héng)架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。工程中，桁架是一种非常常见的结构，多用于桥梁、起重机、电线杆等。

为简化问题，我们采用以下假设：

1、杆件间用光滑铰链连接。

2、桁架所受的力均作用于节点，且在桁架所在平面之内。

3、桁架本身重量不计，或平均分配在杆两端的节点上。

4、桁架以三角形框架为基础，每增加一个节点需要增加两根杆件。

满足以上条件的桁架称为平面简单桁架。并且可以证明，平面简单桁架一定是静定的。

下面我们通过一个例题来讲解麦克斯韦图。

例：下图为一简单平面桁架，图中的小方格边长为1m。已知F1=30N，F2=20N，求13根杆上力的大小分别为多少，并说明是压力还是张力。

例题图

解：首先应用整体法分别求A、B两点受地面的力。

以A为参考点，由力矩平衡有

易解得FB=27.5N

再对整体运用受力平衡，可得A点受地面向左20N，向上2.5N的力。

下一步是对桁架进行分区。

解图1

我们以力的作用线为边界，将桁架所在平面分为了10个区域，用小写字母a-j进行标记。

接下来就绘制麦克斯韦图。

麦克斯韦图不同于一般的受力分析图。这种图中，线段沿力的作用线，线段的端点为之前所分区域，线段的长度即力的大小。同时为了判断力是压力还是张力，还需要规定一个正方向。我们规定：绕节点顺时针为正方向。

解图2

上图中的4个力已在之前得出。接下来通过作图，就可得到剩下的力。

作图的依据就是之前所说的：麦克斯韦图中的力沿实际力的作用线。例如分割区域d、g的线段AD斜率为1，则AD杆上的力在麦克斯韦图中斜率也是1。而分割而g、a的线段AF是水平的，则AF杆上的力在麦克斯韦图中也是水平的。故两条作用线的交点即为g。

解图3

与外力有明确的方向不同。杆上的内力一般判断的是它是压力还是张力。这就是规定正方向的意义所在。绕A点，顺时针依次经过区域g、a，这表明节点A受AF杆的力从g指向a。但如果绕F点，顺时针依次经过区域a、g，这表明节点F受AF杆的力从a指向g。可见AF杆上是张力。同一根杆对两端点的力是等大反向的，这也正是我们为什么在麦克斯韦图上只有外力标了方向，而杆中内力的类型需要借助正方向判断。

再以BE杆做一次示范。

解图4

杆BH分割区域b、j，故bj与BH一样是水平的。杆BE分割区域c、j，故cj与BE一样，斜率为-1。两根作用线的交点即为j点。绕B点，顺时针依次经过区域j、c，这表明节点B受BE杆的力从j指向c。

按相同的方法可以画出整张麦克斯韦图。

解图5

注意到图中g、h两点是重合的，这表明分割g、h的杆DF内没有力。上图右侧的数据即为两点间的距离，单位为10N。在根据正反向即可判断力是张力还是压力。

综上所述，桁架中各个杆中力的分布为：

通过麦克斯韦图，我们以不同于传统受力分析图的方法，将受力分析问题转化为了一个几何问题，从而绕开了复杂的解方程的步骤。在杆与杆间夹角较为特殊的情况下，能够大大地简化问题。而国内的教科书对此方法鲜有提及。本文通过一道例题介绍了通过麦克斯韦图求解平面桁架问题的方法，希望读者能有所收获。

封面图为武汉长江大桥，是中国湖北省武汉市连接汉阳区与武昌区的过江通道，位于长江水道之上，是中华人民共和国成立后修建的第一座公铁两用的长江大桥，也是武汉市重要的历史标志性建筑之一，素有“万里长江第一桥”美誉。[3]

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武汉加油！

参考资料：

[1]《理论力学(Ⅰ)》哈尔滨工业大学理论力学教研室 编

[2]Theory of Structures，S.P.Timishenko,D.H.Young

[3]百度百科-武汉长江大桥