27数列解法第六招：它山之石-利用函数思想解决数列问题

数列解法第六招：它山之石-利用函数思想解决数列问题

数列是刻画离散现象的数学模型,本质上数列是定义域为正整数集

(或它的子集)的函数,

数列的通项公式则是相应的函数解析式.可见,任何数列问题都蕴含着函数的本质,从而可以用函数思想解决数列问题.将现在学习的新知识数列与先前的函数结合在一起进行探究,它不仅能够使学生深入了解以前学习的函数,还能使数列问题更有新意和综合性,从一定程度上简便问题的解法,能有效地培养学生的灵活应用和创新意识.因此我们在解决数列问题时,应充分利用函数的有关知识,灵活应用函数的概念、图象、性质,架起函数与数列之间的桥梁,从而有效地解决数列问题.

一、函数性质结合法

通过对数列的通项公式及前

项和公式等这些特殊的函数关系的推导,清楚了

、

和

的对应关系,然后利用概念,寻找出数列通项公式、求和公式与函数的联系,这样能够培养学生对数学的整体意识.

(1)等差数列通项公式:

,对应一次函数

;

(2)等差数列前

项和公式:

,对应二次函数

;

(3)等比数列通项公式:

,对应指数型函数

;

(4)等比数列前

项和公式:

,对应指数型函数

.

二、构造函数求解法

学会构建函数,体现了学生在学习过程中的体验、思考与参与.在构建函数之后,需要利用函数概念和性质(单调性、奇偶性、周期性、最值等)来解决问题.

(2019北京卷文科)设

是等差数列,

,且

,

,

成等比数列.

(1)求

的通项公式;

(2)记

的前

项和为

,求

的最小值.

【答案】见解析

【解析】(1)∵

,

,

成等比数列,∴

,

设数列

的公差为

,则有

,

解得

,∴

.

(2)

,

根据二次函数的性质可知,当

或

时,

取得最小值

.

1.(2019北京卷理科)设等差数列

的前

项和为

,若

,

,则

__________,

的最小值为__________.

2.(2021南阳市第一中学月考)已知

为等差数列

的前

项和,满足

,

,

为数列

的前

项和,满足

,

.

(1)求

和

的通项公式;

(2)设

,若数列

的前

项和

,求

的最大值.

3.(2021常德市第一中学月考)设

是无穷数列,若存在正整数

,使得对任意的

,均有

,则称

是间隔递增数列,

是

的间隔数,下列说法正确的是( )

A.公比

大于

的等比数列一定是间隔递增数列

B.已知

,则

是间隔递增数列

C.已知

,则

是间隔递增数列且最小间隔数是

D.已知

,若

是间隔递增数列且最小间隔数是

,则