干货 | 空间几何体的表面积和体积
一、空间几何体的表面积
问题1：有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A出发，沿着圆柱侧面爬行一周，到达上底面圆周上一点B（线段AB是圆柱的一条母线），问蚂蚁爬行的最短路线是多长？
平面展开图：沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形，这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。
（一）棱柱、棱锥、棱台的侧面积
1、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。
正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
◆S直棱柱侧＝ch其中c为棱柱的底面周长，h直棱柱的高。
2、正棱锥
定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
性质：
（1）正棱锥的侧棱长相等。
（2）侧棱和底面所成的角相等。
棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。
◆S正棱锥侧＝
ch´（其中c为棱锥底面周长，h’为侧面等腰三角形底边上的高——斜高）
3、正棱台
定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台。
侧面展开图是由各个侧面组成的。
S正棱台侧＝
（c ＋ c’）h’
（其中c，c’为棱台上下底面的周长，h’为各个等腰梯形的高，即棱台的斜高）。
（二）、圆柱、圆锥、圆台的侧面积
把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积。
1、圆柱的侧面积
◆如果圆柱底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是
2、圆锥的侧面积
◆如果圆锥底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是
3、圆台的侧面积
◆如果圆台的上、下面半径是
周长分别是
侧面母线长是
，那么它的侧面积是
二、柱锥台的体积公式
长方体的体积公式是什么？如：某长方体的长宽高分别是7cm,5cm，4cm，其体积为多少，即为多少个正方体？
1、祖暅原理
两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。
2、柱体的体积公式
3、锥体的体积公式
4、台体的体积计算公式
◆柱体，锥体，台体之间的关系：
5、球体的体积公式与表面积公式
（1）利用祖暅原理可得
（2）利用极限的思想推导出球的表面积公式：S球面＝4πR2
典型例题
例1. 有一根长为5 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1 cm）
解：由题意知：BC＝5 cm，AB＝8
，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度。AC＝
例2. 如图是一个奖杯的三视图，（单位：cm）试计算这个奖杯的体积（精确到0.01cm3）。
解：V正四棱台＝
V长方体＝6
＝864
V球 ＝
V＝ V正四棱台 ＋ V长方体＋ V球
例3. 一个圆柱形的锅炉，底面直径d＝1m，高h＝2.3m。求锅炉的表面积（保留2个有效数字）。
解：底面半径r＝
S侧面积＝ cl＝2
＝
＝2.3
S表面积 ＝ S侧面积＋ S底面积＝2.3
＋
8.7
例4. 一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和6cm，高是
cm，求三棱台的侧面积。
解：如图
。连接AO并延长交BC于D，连结
，并延长交
，过
作
E
AD于E
DE＝DO－
＝
，
＝
S正三棱台