中考数学压轴题分析：等积法的应用

本文内容选自2021年随州中考数学几何压轴题。本题以等积法为背景，考查等积法的应用。由浅入深，值得学习。

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【中考真题】

（2021·随州）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 　　，其内切圆的半径长为 　　；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得　　；（结果用含的式子表示）

②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，
（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为 　　；（结果保留
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．

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【分析】

（1）用两种方法表示直角三角形的面积可以得到h=ab/c。

（2）①用分割法求三角形的面积，进而得到等量关系。

②先用三角函数表示出正五边形的高，再求面积，根据等面积法得到结论。

（3）①根据BC∥OA，可以将阴影部分面积转化为扇形BOC的面积即可。

②本题其实是将三角形DEF的面积进行转化，转化为有一个顶点G在AF上的另一个三角形的面积即可。参考①中的方法，通过构造平行线进行转化。

【答案】解：（1）如图所示，，，，
，设斜边上高为，由等面积法可知：
，
．
设其内切圆半径为，利用分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积可得：
．
即，
即，
．
故答案为：，1；

（2）①：由已知中图可知，的面积为，
由等面积法，易知，
解得：．
故答案为：．
②：类比①中方法可知，
设点为正五边形的中心，连接，，如图2．
易知，
过作于点，，
故，，
故，从而得到：
．

（3）①：若以作为和的底，则和等高，
．
图中阴影部分的面积即为扇形的面积．
切于点，
，
又，，
，，
，
，
为等边三角形．
，
．
故阴影部分面积为．
故答案为：．
②如图3，连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求．
连接，
，
，
，
．