人教版| 九年级数学下册第26章 反比例函数知识点汇总

反比例函数知识点汇总

平面直角坐标系

1、定义：

平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

2、各个象限内点的特征：

第一象限：（+，+），点P（x，y），则x>0，y>0；

第二象限：（-，+），点P（x，y），则x<0，y>0;

第三象限：（-，- ），点P（x，y），则x<0，y<0;

第四象限：（+，-）， 点P（x，y），则x>0，y<0;

3、坐标轴上点的坐标特征：

x轴上的点，纵坐标为零；

y轴上的点，横坐标为零；

原点的坐标为（0，0）。

两坐标轴的点不属于任何象限。

4、点的对称特征：

已知点P（m, n）,

关于x轴的对称点坐标是（m，-n），横坐标相同，纵坐标相反;

关于y轴的对称点坐标是（-m, n），纵坐标相同，横坐标相反;

关于原点的对称点坐标是（-m, -n），横、纵坐标都相反。

5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：

平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；

平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

6、各象限角平分线上的点的坐标特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

7、点P（x,y）的几何意义：

点P（x，y）到 x 轴的距离为 |y| ，

点P（x，y）到 y 轴的距离为 |x|。

点P（x，y）到坐标原点的距离为

8、两点之间的距离：

9、中点坐标公式：

已知A（ x, y ）、B（ x, y ），

M为AB的中点，则：

10、点的平移特征： 

在平面直角坐标系中，

将点（x，y）向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点（ x+a，y）;

将点（x，y）向左平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）；

将点（x，y）向上平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）；

将点（x，y）向下平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，y-b）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

反比例函数图像与性质

1. 定义：一般地，形如 y=k/x (k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数。y=k/x 还可以写出 y=kx。

2. 解析式：y=k/x ( k为常数 )

注：反比例函数解析式的特征：

① 等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量 x，且指数为1。

② 比例系数k不等于0。

③ 自变量 x 的取值为一切非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母≠0）。

④ 函数 y 的取值是一切非零实数。

3、增减性（单调性）：

k>0，y随x的增大而减小（单调减）；k<0，y随x增大而增大（单调增)。

4、反比例函数的图象：双曲线

（1）图像的画法：描点法

① 列表（应以o为中心，沿o的两边分别取三对或以上互为相反的数）

② 描点（有小到大的顺序）

③ 连线（从左到右光滑的曲线）

（2）对称性：

① 是中心对称图形，对称中心是原点

② 是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和 y=-x

（3）反比例函数 y=k/x （k为常数，k≠0）中自变量 x 不等于0，函数值 y 不等于0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

（4）比例系数 k 的几何含义：

反比例函数 y=k/x (k≠0) 中比例系数的几何意义，即过双曲线 y=k/x（k≠0）上任意一点 P， 作x轴、y轴垂线。设交点分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积（阴影面积）为 |k| .  (由 y=k/x 变形可得：k=xy.  因为面积为正数，所以 k 取绝对值。)

5. 反比例函数性质如下表：

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