另一份七大数学奇迹名单
本文为第一届和乐杯数学科普大赛参赛作品。期待更多参赛作品，共同做好数学普及。
作者：刘瑞祥
最近，我拜读了蒋迅老师的《我眼中的七大数学奇迹》一文（以下简称“蒋文”），感觉很有意思，于是冒昧地提出自己心目中的七个数学奇迹，无非是希望附骥于蒋文之后，博大家一笑而已。
我选择的原则和蒋文有些差别，特别是蒋文不涉大型数学体系，而我却自不量力地选取了一个理论体系，另外本文有些地方虽然选材角度与蒋文相近，却有意避开了蒋文已经涉及的内容。下面内容敬请大家评论指正。
一、一套数学体系——微积分
整个近现代数学都可以说是以微积分为基础的。这也使它成为了所有理工科课程的基础工具。按照恩格斯的观点，微积分之前的数学大致可以算是“常量的数学”，而微积分使变量进入了数学。自从有了微积分以后，数学的发展就变得一日千里了，很多过去很难解决、甚至无法解决的问题，都随着微积分的诞生迎刃而解了。但我们要注意，微积分并不仅仅是可以用来研究此前遇到的各种难题——比如求切线、求体积，还有很多理论是必须借助微积分才能描述的，比如大名鼎鼎的麦克斯韦方程组等等。
在我构思本文的时候，我曾想到底是选取微积分还是线性代数作为数学体系的代表，后来我意识到微积分往往是大学理工类专业的第一门数学课程，它大概要比线性代数更为基本，所以这个荣誉给了它。至于别的数学理论，比如说非欧几何、群论等等，可能未必是每个理工类专业学生都会遇到的，所以没有考虑。
二、一条数学定理——勾股定理
如果说数学中有什么家喻户晓的定理，那么勾股定理一定榜上有名。我认为，这个定理之所以有名，至少有以下几个原因，不再一一解释：
第一，它本身的作用非常大； 第二，它有很多种证明方法； 第三，它是许多不同文明独立发现的； 第四，它和数学乃至物理上的许多问题有密切的关系。
确实，当你坐在初中教室里学习这个定理的时候，你可曾想到过这个定理居然暗通广义相对论里“空－时”的计算呢？从中我们可以看出，勾股定理是否成立，在一定程度上反映了时空结构的特性。而不同文明对这个定理的证明，反映着这些文明在数学问题上的志趣。
三、一种数学方法——反证法
曾经有一位数学家评论反证法的时候说，棋类比赛中的弃子战术只是弃掉一个子，而数学家可以弃掉整个棋局（大意）。他说的就是反证法。反证法有多妙？甚至妙到了数学家都感觉无法把握的程度——比如直觉主义者就反对应用反证法。不过，如果不用反证法，数学将少了很多结论。
在传统数学中，反证法的最绝妙的应用是证明素数是无穷多的，以及证明根号2是无理数。另外，关于平行性质的传递性也是反证法的例子。这些地方如果使用其它证明方法，即使不是绝对作不到，也是非常困难和难以理解的。
四、一本数学著作——几何原本
《几何原本》绝对是数学界奇迹般的存在，华人科学家张首晟誉之为数学家的圣经。这部著作以其丰富的内容、几近完善的体系和奇妙的证明技巧而闻名于世。受这本书直接影响的人包括牛顿、林肯、罗素等等名人，至于它间接影响的人就更多了。直到今天，传统数学仍然很大程度上在这本书的范围里打圈子，甚至本文中就有许多内容和这部著作有关。
《几何原本》的另一个奇妙之处在于，作为一本学术著作，它的很多内容却很好理解。我们阅读这本书，绝不至于像阅读阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》或者亚里士多德的《物理学》那样感觉晦涩。事实上，我们读这本书就仿佛是回顾自己的学生时代，但这绝不是我们轻视这本书的理由。以本人的阅读经验来看，这本书是一个坑——你越钻研，就会发现内容越丰富。我对这本书有这样一个评价：初中生就可以“读懂”，研究生却不一定能“读懂”。这是因为“读懂”的标准不一样。
经常有人比较《九章算术》和《几何原本》哪本书更重要。对此，我只说一句——研究《几何原本》的人可能不会去和《九章》作对比，而研究《九章》的人往往会和《原本》作对比。
五、一个数学概念——悖论
悖论是数学中最另类的东西，因为数学本身是逻辑的产物，而悖论打破了人们对于逻辑的信仰。也正因为数学悖论和逻辑有关，因此无法像物理学中的佯谬一样通过实验来判定。但是悖论揭露了人们认知的盲点，引导人们把目光转向更深的层次。要明白这一点，只需要注意到三次数学危机都是由悖论引起的就行了。 就笔者对悖论的了解而言，引发悖论的命题往往和自指、全称、无穷、否定这几个词汇有关。其中特别是无穷会带来理解上的困难，比如欧拉就认为，希尔伯特旅馆更是科普作品里的常客。
随着数学的进步，许多悖论已经被消除了，比如曾经用来诘难微积分的“既是0又不是0”的无穷小“幽灵”，但还有一些诸如理发师悖论之类的东西，继续在挑战着数学家的智商。
六、一个数学常数——
蒋文中提到的数学常数是，同时也提到和其它一些数是有力的竞争者。为了与蒋文相区别，我这里特意选择了。的特点在于，它在高等数学里出现的频率很高，基本上只要是有指数函数、对数函数的地方就一定会出现，这是因为凡是以为底的式子，其求导和求积分的公式就非常简洁。不过，在数学界以外，的名气比小了不少，这大概是因为要理解需要的知识比较多吧。
不要认为和无关，二者通过欧拉公式紧密的联系在了一起。
何以有如此特性？真是奇妙的一个数。
七、一位数学天才——伽罗瓦
蒋文中提到了一位著名的印度数学界拉马努金，我这里选择了伽罗瓦。二人都是天才，但伽罗瓦可能更重要。他以一己之力、有限生命，创立了数学上的一个分支——群论，当属开山立派的宗师级人物。不过话说回来，可能即使他本人也没有意识到他的理论会在后世发展成什么样子，否则的话，他怎么会自轻性命呢？令人更为遗憾的是，和他年龄相近、研究领域也有相当重合的另一位数学天才阿贝尔也同样英年早逝，莫非冥冥之中有什么定数？
说到数学天才，我这里要多说几句。有很多奥数获奖者都被旁人称为天才，但是他们如果仅以奥数获奖为目标，那么仍属目光短浅之辈。真正成大事者，不应该盯着奥数题目，因为那是已经被人研究过了的东西。从这点上看，再多的奥数金牌，也比不过一篇数学论文，哪怕是平庸的论文，因为论文总是要解决前人没有解决的问题。
以上就是我个人总结的七大数学奇迹，但这个东西其实见仁见智而已，还是开头那句话，博大家一笑而已。读者们，你能告诉我你心目中的数学奇迹是什么吗？