与相似三角形有关的压轴题(9)

本次的三道压轴题都是围绕着A/X型基本图形中的比例线段展开，综合射影定理、共边共角型相似三角形中的比例关系的应用。题目的来源主要来自松江和浦东部分学校的阶段测试的真题。

🔴类型1：A/X型基本图形与一线三等角模型的综合

解法分析：本题的背景是等腰梯形，综合了相似三角形的证明、一线三等角模型、以及相似三角形的相似比与面积比之间的关系。

本题的第1问通过利用边之间的数量关系，利用相似三角形判定定理2，进行证明。

本题的第2问的第①问根据题意画出图形，证明△BEP∽△PCF，利用一线三等角模型，写出y关于x的函数关系式，由于F在CD的延长线上，因此需要注意y是大于0的。

本题的第2问的第②问需要分类讨论，即F在CD的延长线上或F在线段CD上，画出图形后，利用△DMF∽△BEP，从而得到两相似三角形的面积比等于BP与DF的平方比，再与函数关系式联立，求出BP的长度。

🚩 模型1：四边形中的一线三等角模型

如图1，当∠1=∠2=∠3时，△ACP∽△DBP；特别地，当P为AB中点时，三个三角形两两相似，即△ACP∽△DBP∽△CPD.

🔴类型2-1：A/X型基本图形与相似直角三角形的综合

解法分析：本题的背景是矩形，综合了垂直平分线的性质定理、勾股定理、直角三角形中的相似问题、共边共角型相似三角形和等腰三角形的存在性问题。本题的第1问根据AF是线段CE的垂直平分线，得到AC=AE，利用勾股定理，求得CE的长度后，再利用△CGF∽△CBE，求出GF的长度。

本题的第2问利用一组X型：AD-BG-X型，以及一组相似：△ABG∽△CBE，得到y关于x的函数关系式。

本题的第3问是等腰三角形的存在性问题，结合矩形对角线互相平分的特点以及等腰三角中按边分类讨论进行，根据图形的不同选择相应的解题策略。特别地，由于BG的长度比较复杂，因此可以利用“相似三角形的转化”，即△BGH是等腰三角形，△ADH也必为等腰三角形。

🔴类型2-2：A/X型基本图形与相似直角三角形的综合

解法分析：本题的背景是矩形，综合了勾股定理、直角三角形中的相似问题、射影定理和相似三角形的存在性问题。本题的第1问已知了AE和AB的长度，因此可以通过解直角△AEB，求出BF、EF的长度，从而求出其比值。本题可以通过勾股定理求解，最简单的做法就是利用射影定理来求解。 模型2：射影定理

本题的第2问中需要求DG与BG的比值，因此可以考虑构造AD-BP-X型基本图形，即延长AG交BC于点P，通过求出BP的长度，求出比值。BP的长度利用△ABP∽△ABE求解。

本题的第3问是相似三角形的存在性问题，可以从“边”或者“角”的角度进行切入。如果从边的角度切入，则为两直角三角形的夹边对应成比例，即BC:CD=BF:FG或BC:CD=FG:BF，但是由于BF和FG的长度比较难求，因此若从边的角度切入就显得比较困难。因此可以从角的角度切入，通过寻找等角进行切入。

学习单：四边形中的A/X型基本图形