【新教材研究】突出概念内涵，体现学科本质

---

【前言】苏教版新教材将于2020年9月份投入使用，新教材较旧教材相比确实有很多变化，无论是知识结构还是素材设置都有较大的调整与修订，研究教材理应成为一线教师进行教学研究的基本常态，正如省教研室李善良主任在今天培训中倡导的那样：“教材需要大家共建”。

疫情停课期间，在家研读新教材中的部分章节，根据教学经验有一些肤浅思考，整理成文发表。

今日荐读：《突出概念内涵，体现学科本质——对苏教版新教材“向量概念”三处修订的理解》，本文发表于《中国数学教育》2020年第7-8期

章建跃先生的“三个理解”（即理解数学、理解教学、理解学生）是教师专业发展的基石，是数学教学质量的根本保证，是广大数学教师在教改大潮中“以不变应万变”的法宝.理解教材编写意图，理解知识蕴含本质，是落实“三个理解”的前提保证.2019版苏教版《普通高中教科书·数学》（下称新教材）将投入使用，新教材较2004版苏教版教材（下称旧教材）相比，在知识体系上发生了较大的变化，对新教材进行解读很有研究价值.新教材的很多章节沿用了旧教材的内容，但也依据新课程理念对其中的部分内容进行了修订，对这些修订处进行理性认识，是精准把握教材编写意图的一个切入口.本文拟以新教材必修第二册第九章第1节“向量概念”中三处修订为例，谈谈个人的理解，敬请指正.

一、问题情境的更新看数学素养的培育

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题,引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养.从发展学生数学学科核心素养的角度出发，强调情境创设的问题，是因为核心素养的特性决定了它的孕育、养成常常是在学生与问题情境的有效互动中进行的.事实上，不同的情境及其蕴含的学习任务要求，是可以对应于不同的素养组合和水平要求的，这就赋予了情境创设新的教学功能.

向量具有丰富的物理背景，物理情境应作为重要的科学情境贯穿向量教学的始终.新教材以“斜面上的木块受力”取代旧教材中“湖面上三点的位移”作为向量概念引入的实际情境，其教学功能更加丰富.笔者认为这样的变化是基于学生的认知结构和学习心理而考虑，从单元的视角出发，体现同一情境在单元学习中的连续使用，为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程提供基础.

学生在学习本节课时，已经在高一物理中学习了物体的受力分析，对斜面上的木块受力分析更是倍感熟悉，让他们在熟悉的情境中进行表征活动更容易引发认知上的共鸣，更贴近学生的认知心理和最近发展区.另外，从整章来看，在章首语、向量运算、向量基本定理及坐标表示等内容中都看到了“斜坡上的小木块”的身影，充分体现了“向量源于力学”的历史事实.

更为重要的是让学生在熟悉的情境中进行数学抽象活动，为向量概念的完整建构提供了切实可行的抽象路径：即从具体实例中抽象出共同本质特征——定义——数学表示.

如果从整个学习单元来看，学生在熟悉而统一的情境（斜面上的木块）中进行不同对象的抽象过程，逐步形成对数学对象进行抽象的“基本套路”，并且这是一种完整统一的抽象活动，将帮助他们在概念学习中逐步形成数学抽象的基本范式，这对发展学生数学抽象的水平是有意义的.史宁中教授认为：“数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象.”数学抽象是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.因此，数学教学应尽可能地让学生参与完整的抽象活动（包括感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征、系统化与结构化），经历完整的抽象过程，这是因为学生数学抽象的素养是在抽象过程中逐步培育而成，并且只有完整的抽象活动、抽象过程才能培育出完整的抽象能力和抽象素养.

二、“夹角”概念前移突显概念内涵

数学概念是揭示世界空间关系与数量关系的思维形式，是进行推理的基础，概念教学中要把概念放置于整个概念体系中去考量，突出概念的数学本质，体现概念间的逻辑关联.这一点在新教材中也得到了例证，如向量的夹角.在旧版教材中，向量的夹角是在定义向量的数量积之后作出的“规定”，这样处理“夹角”给人一种似乎为了引入“数量积”这一新概念而临时打的“补丁”，概念的呈现有实用主义之嫌，并没有真正体现“夹角”在整个向量概念体系中的价值与地位.

向量的几何属性源于它的“方向”，向量的平行、共线、夹角、垂直都是向量几何属性的反映.“夹角”作为刻画向量方向的基本量，是度量和刻画两个向量方向关系的重要概念.从具体的教材内容来看，向量概念给出后，先从“大小”的维度定义了两个特殊的向量——“零向量”和“单位向量”，再从“方向”的维度给出了“平行向量”（或“共线向量”）的概念，此时是很好地指导学生进行“提出问题”的一次机会.学生在已有认知结构中已经有了平面内两条直线的位置关系的基本经验，因而是有“经验”意识的.两个非零向量除了“平行”外，还有“不平行”的情形.为此，选择一个量来刻画“不平行”既是逻辑必然也是认知使然.进而引导学生分析可以通过两个“不平行”向量的方向差来表征它们的方向属性，这就是“夹角”认知的逻辑起点.

由以上分析可知，向量的“夹角”应与向量“共线”处于同一概念域的两个平行概念，是同一认知对象的两个方面，是进一步认识向量概念中“方向”属性的具体载体，将其前移至“向量的概念”这一节中更符合认知的规律，更有利于学生准确理解向量概念的本质.

三、“零向量”的“规定”体现概念特征

在数学概念教学中，有一些约定俗成的、无关大体的、有时不便向学生解释或难以解释的内容，通常采用“规定”的形式呈现出来.新教材在编写本节时，只要出现零向量就作相应的规定（共三处，而旧版教材只有下文的规定②），这充分说明“零向量”在向量知识体系中的特殊地位.

这三处“规定”分别是：

①我们规定，长度为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向是任意的.

②我们规定零向量与任一向量平行.

③规定零向量的相反向量仍是零向量.

与实数中的“0”一样，没有零向量就不能构成完整的平面向量知识体系，就不能将向量与实数对之间建立一一对应关系，也不能完整地建立相反向量、向量加减法运算等概念.正是由于零向量的特殊性，在平面向量的教学中，建立概念，构成定理，形成法则都离不开零向量，而且稍不留神就会出现概念的把握不准的问题，因此，准确把握零向量的内涵是理解向量概念本质的关键.

对于规定①，由于向量具有大小和方向两个属性，自然地，零向量不仅要有大小，也需要对其方向进行界定，由文献[4]可知，如果不规定零向量的方向，极易引发零向量的“方向不确定”与“方向任意”的理解差异，容易“造成教学上的混乱”.

对于规定②，由文献[5]分析可知，零向量是向量线性运算系统保持封闭性的逻辑基点，在整个概念和运算中起着十分重要的作用.如果没有规定“零向量与任一向量平行”，那么，向量空间的建立将存在很多问题，这是因为平面向量基本定理、空间向量基本定理都要以一维向量空间为基础，没有这一规定就没有一维向量空间.

对于规定③，如果没有这样的规定，相反向量的概念、向量加减法的运算(如a (-a)=0）完备性就难以保证，这与数学的严谨性是相悖的.

从学生的认知特点看，在最初接触向量时，他们很难理解或探究为何要作这样的规定，只有在逐步学习向量的相关知识后，才能理解这些“规定”的必要性与科学性.在教学中，教师要引导学生理解这些“规定”存在的合理性和科学性，让学生在学习时不仅知其然更要知其所以然，形成对知识的理性认识和深度学习.

对新教材的理解与研究是一个系统工程，要在不断使用过程中领会教材每一个环节的编写意图，充分挖掘其教学价值，更好地发挥其教学功能，促进学生对知识的深度理解和核心素养的提升.

参考文献：

[1]章建跃.理解数学是教好数学的前提[J].数学通报，2015（1）：61-63

[2]单墫，李善良.普通高中课程标准教科书·数学[M].南京：江苏教育出版社，2019

[3]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018

[4]兰永胜.零向量、平行向量、共线向量的探讨[J].数学通讯，2013（8）：23-25

[5]杨冠夏.从零向量与任何向量都平行说起[J].中学数学杂志，2008（5）：64-65