一道中考题的诗与远方

 数学题不仅仅是数学题，还有诗和远方。很多习题潜在着进一步扩展其数学功能和教育功能的可行性.  初中数学中考题也不例外，它们是经过命题团队反复琢磨，精心设置的，不少题目内涵丰富，教育教学功能多样，具有很强的探究性.  在教学过程中若能充分发挥中考题的多元功能，能有效避免题海战术，巩固基础知识，增强学生的应变能力，提高数学素养.

2020年杭州市数学中考第23题，以圆为基础，结合中点、垂径定理、等腰三角形等知识，题目简洁，阅读量适中，作为中考压轴题，从基础到深入再到提高，设置梯度，引领思维，从不同角度考查了学生的几何直观、逻辑推理等素养.

第（1）问求线段长度，从不同的角度思考图形，可以得到不同的解题路径.

第（2）①小问，证明两条线段相等，联想到平行四边形的对角线的性质，可以尝试补全图形证明平行四边形。

 大多数同学最开始的想法是构造全等三角形，结合题目给的中点容易联想到中位线，于是有了解法3.

把关键部位从圆中抽离出来，把问题转化为三角形背景下的已知两组边的比值，求另一组线段的比值为1:1.这时学生脑洞大开，解法多样.

从每个点出发作平行线，构造常见的“A”型或“X”型，居然都可以解决此题，不过从P点作平行线相对较复杂.

        当然本小问还是可以建立平面直角坐标系，几何问题代数化解决.

        第（2） ②问，注重对基本图形的提炼，对知识与技能的整体性要求较高，学生存在一定的困难.

 由DF=EF联想到“K”型图，设未知数，用勾股定理列方程求解，也是比较容易获得答案的.

最后一问可以增加分类讨论思想吗？于是尝试把最后一问线段相等改成等腰三角形.

直角三角形可以吗？此时角度不好求，但是三角函数值可以求.

 由定到动.

从特殊到一般，让学生感悟数学的神奇，体会解决问题的一般思路.如果E动，F不动，又会怎样？

如果E、F同时动？

如果E、F同时动，并且改变连线的位置.

   不过发现改编后圆形同虚设，圆中的性质用得极少.于是再改，让F与C重合，E点运动.

       增加折叠，更多的考查圆中的性质，但是前后联系不大.

 圆中两条直径，想到矩形，补全图形.可以两个点同时动吗？F可以在边上动吗？可以更多的考查圆中的性质吗？带着这样的疑问再次尝试改编.

 这样一来，第三问难度有点大.但是如果能够抽离图形，解决起来还是不难的.

       感悟：平时教学中还是要多关注学生的核心素养的落实，有意识的在核心知识的交叉点处设置综合问题，同时培养学生对“图形”的敏感度以及复杂图形特殊化处理，从复杂图形中抽离出基本图形的能力.

 每道题目都有着一个关于远方的梦想。只要我们拥有一颗探索数学奥秘之心，必会拥有一双发现数学之美的眼睛.一起来追求属于我们数学人的诗和远方吧！