2020 福建质检典型试题赏析1

7. 若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形恰好是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围为

【解析】由对称性知，菱形的中心和双曲线的中心重合，问题转化为过原点作两条互相垂直的直线与双曲线有4 个交点。从而可得渐近线与实轴的夹角大于 45°，即:

，则

【点评】抓住图形的特殊性转化为菱形对角线与双曲线的位置关系，进而转化为渐近线倾斜角的范围。

【点评】构建函数模型，均值不等式和导数是研究最值的两个基本工具。

【答案】B

【点评】从抽象到具体，对函数的性质进行了全面的考查。

【点评】把实际问题抽象为数学模型，得到一个解三角形的问题，利用已知角表示未知角，在图形中也是如此，高考多次考查，参考《新高考新课标下的数学习题精粹必修4》（已经售完）。下面是例3 及变式

【点评】此题具有一定的创新性，学生需要通过取对数把方程相同的结构，即转化为函数与y = t有两个交点，通过函数单调性，确定

的范围，不等式能成立，转化为左边的最小值小于右边的最大值，恰好能找到n 的上界，取极限的过程n 可以取到5。