希尔伯特空间，数学空间的神秘之地
乍见希尔伯特空间，只闻其声不明其理，当你学得正欢之时，突如其来不知所云。不禁自问，希尔伯特空间到底是什么？
We must know, we will know.——希尔伯特
空间对于人，是人与事物存在、运动的场所，空间对于数学，是“点”（元素）和几何结构的集合。
众所周知的三维空间，属于欧几里得空间——有限维度线性内积空间。
什么是欧几里得空间？
古希腊数学家欧几里得创建了距离和角之间联系的法则——欧几里得几何，由二维平面几何可扩展成三维，再到有限维度抽象几何空间，称为欧几里得空间。其中维度是描述空间内一个点所需参量的个数——坐标数，例如三维空间中的点a=(x1,x2,x3)。
若把人的活动约束在学校，那么就是学校空间，同理，对点和几何结构进行各种约束，就构成了不同的数学空间。
1、度量空间：定义了距离的空间。
对空间（集合）中任意两点a,b，若D(a,b)满足：
- 非负性、同一性：D(a,b) ≥ 0 ，当且仅当a = b时，D(a,b) = 0；
- 对称性：D(a,b) = D(b,a)；
- 不等式：D(a,b) ≤ D(a,c) + D(c,b)。
则D(a,b)就可以称为空间的一个距离。
2、线性空间：定义了距离后，增加线性约束的空间。向量的加法、乘法满足交换律、结合律等，简而言之就是符合线性叠加原理，F(a+b+c)=F(a)+F(b)+F(c)。
3、赋范空间：定义了范数，是绝对值（形式|a-b|）的延伸，是对向量、函数和矩阵定义的一种距离度量形式，如距离D(a,b)=||a−b||。
4、内积空间：规定了内积，引入夹角概念的空间。比如向量a·b=|a||b|cosθ=(x1,x2,x3)·(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3。
至此，在各种约束条件下，有限维度+度量+线性+范数+内积=欧几里得空间。看似复杂的定义，其实就是一种约束的空间。
关于人，没有约束就没有自由；关于数学，没有约束的空间，庞大而无用武之地。
神秘的希尔伯特空间
当欧几里德空间不再局限于有限维，就是希尔伯特空间——无限维度完备线性内积空间。完备指的是，空间中的极限运算衍生的所有可能点都包含于空间本身——柯西序列等价于收敛序列，简言之，合理即存在。
无限维度的向量（x1,x2,x3...xn）意味着有任意个独立坐标，可以用函数表达，两个无限维度的向量的内积等价于两个函数的积分。例如傅里叶变换，一种频率函数对应一个坐标，时域中每个点都可以在频域中展开成各种频率的函数。如此一来，欧几里得空间就演变成希尔伯特空间。
傅里叶变换
在理论数学和物理中，希尔伯特空间是强有力的概念工具，例如泛函分析中，研究的对象正是函数构成的空间；量子力学中，一个物理系统必须由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间来表示。当然希尔伯特空间也不是万能的，比如广义相对论就必须用到非欧几何空间。
综上所述，希尔伯特空间褪去神秘，就是一种受约束的数学空间。试想构建一种数学框架套在宇宙空间中，使得宇宙空间与数学空间一一对应，是不是可以得到一切真理？或许历史总是会重演，正像希尔伯特希望建立完备自洽的数学公理系统，随着哥德尔不完备性定理的到来而破灭，又如广义相对论时空遇到量子不确定性原理，对立又不容。万物之理，何去何从，还看今朝。