【模型研究】压轴题中的倍角问题梳理

一模压轴题链接

分析

首先映入眼帘的是上次所讲的“一线两角”，故结合外角可以得出一组新的等角：∠BAG=∠CEF。再结合已知∠ABC=2∠C，及BD平分∠ABC，得∠ABG=∠C=∠α，可以得到△ABG∽△ECF

【方法一】：平行线 角平分线⇒等腰三角形

【方法二】：化半角为倍角

【方法三】：化倍角为半角

本题主要通过两种方式构造辅助线：①平行线，角平分线，等腰三角形三者之间的关系，知二推其一，以角平分线为突破口，添加平行线构成等腰三角形。

②倍半角之间的转换，化倍角为半角，化半角为倍角，均是构造等腰三角形，将倍半角问题化为等角问题，为构造图形的相似或全等所缺另一组等角创造条件。

提炼倍半角构造辅助线图形

二模压轴链接

第（1）、（2）标准解析

第（3）问解析

角度推演

∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，设∠ABD=β

∴∠ABD=α-β、∠ADB=α β=∠AQB 2β（两次外角）

⇒∠AQB=α-β

∴∠ABD=∠AQB⇒AB=AQ=4

【方法一】

以“AB=AQ”这一等腰为线索，构造三线合一，采取“双勾股”建立方程。

【方法二】

化倍角为半角：作倍角角平分线

转换成等角问题，为构造全等和相似作铺垫。结合“AB=AQ”这一等线段，∠ABD=∠AQB，此时可以将∠DAQ这个倍角化为半角，最后通过相似建立方程。

【方法三】

化倍角为半角：反向延长倍角一边1

【方法四】

化倍角为半角：反向延长倍角一边2

以上两种均是反向延长倍角的一边，∠DAQ这个倍角的两边分别是AD、AQ，反向延长，使之与另一边相等，构造等腰，将倍角化为半角。

【方法五】

化半角为倍角：半角翻折1

【方法六】

化半角为倍角：半角翻折2

【方法七】

化半角为倍角：半角翻折3

分析图形，知∠BAC=∠DBC=1/2∠DAQ，所以翻折半角，可以从此两个半角入手。分别把∠DBC向上、向下翻折；把∠BAC向左、向右翻折，向右翻折亦属解法一，构造角平分线。

【方法八】

化半角为倍角：作半角所在边的垂直平分线1

【方法九】

化半角为倍角：作半角所在边的垂直平分线2

【方法十】

化半角为倍角：作半角所在边的垂直平分线3

【方法十一】

化半角为倍角：作半角所在边的垂直平分线4

分析图形知∠BAC=∠DBC=1/2∠DAQ，∠BAC和∠DBC两个半角的两条夹边分别有2条，所以分别以每个半角的两条夹边作两次垂直平分线，那么共计有4种方法了。

中考压轴链接

上一贴分析过2010年上海市中考压轴的第三问，通过边角要素得出∠A=2∠P这个隐藏的倍半角的关系

图析

作倍角的角平分线

反向延长倍角一边

在处理倍角半问题时，主要还是化倍角为半角，化半角为倍角，将倍角问题转化成等角问题，为后续图形分析做好铺垫。在化倍角为半角时，常见方式：作倍角的角平分线或反向倍角一边，构造等腰；化半角为倍角时，常见方式：翻折半角或作半角所在边的垂直平分线。