【积分与微积分基本定理】- 微积分的本质 08

正文

在数学中, 我们经常会用一长串的公式来证明某个事实. 却并没有在行动之前就想想我们证的东西是不是至少在直觉上更合理更明显.

这期视频里我要谈一谈积分, 这里说明的显而易见的就是积分其实是求导的逆运算. 我们就拿一个第二章用来介绍导数时候开车的例子来仔细分析. 在下期视频中我们将看到这一想法是怎样推广到其他情景的.

想象一下你坐在车里看不到窗外的情况, 眼前所见的只有车速表. 在某个时间点汽车启动, 加速，然后又减速直到停下来，整个过程花了 8 秒时间.

问题来了有没有什么办法？让你只看车速表就能确定在这个过程之中，汽车走了多远? 甚至更进一步，你能不能找出一个距离函数 s(t) 来描述在 0~8 秒内任意时刻 t, 汽车所驶过的距离.

假设你每秒都记下了当前的速度, 那就可以画出一张以时间为横坐标的图，大概是这个样子:

这样不难找到一个表示速度和时间关系的函数, 以米/秒为单位的话, 这个函数就是 v(t)=t*(8-t) .

你或许还能记得在第二章的时候我们考虑的是相反的状况, 当时我们知道距离函数 s(t), 想要通过它来求出速度函数.

到时候我们一起探讨了, 如何利用距离-时间函数的导数来求出速度-时间函数. 所以在我们现在的情形中, 只知道速度, 需要求出距离-时间函数, 问:"为什么函数的导数是 t(8-t)".

这被称为求函数的原函数(Antiderivative). 事实上这就是我们的最终目标.

哦，我首先来说明一下这个问题是怎么和求速度函数围成的面积联系起来的. 这有助于建立对一系列问题的直观感受, 这些问题在数学和科学中被称为积分问题.

首先注意到如果汽车是匀速行驶的话, 问题就简单多了, 在这种情况下就只需要将速度(m/s) x 时间(s), 就得出走过的距离了.

值得注意的是，你可以将这个乘积, 也就是走过的距离, 视为矩形面积. 在这张图上横轴的单位是秒, 纵轴的单位是米/每秒. 面积的单位就很自然的对应了米. 但真正使问题变得棘手的是我们的速度并不是匀速的, 基本上每个瞬间都在变化.

假设汽车只在几个时间点发生变化，问题也会简单很多. 比如下面图中所示, 就可以通过将每段的恒定速度和时间差相乘, 从而算出每一段的距离, 然后再把它们加起来就好.

接下来要做的就是取速度函数的近似, 假装它在每一段上都是不变的, 然后作为微积分的一项基本内容，我们将看到如何通过完美近似来得到精确解.

为了让问题看得更具体点, 嗯，我们将 0 到 8 秒的时间分成很多间隔. 每一个间隔 dt 都很小, 比如 0.25 秒.

考虑其中的一小间隔, 比如 1 秒到 1.25 秒这一段, 在实际的情况中，车在这段时间内从 7 米/秒加速到了大概 8.4 米/秒. 我们要做的是，近似认为车在这一小段内的速度不变. 嗯，我们这么做的原因只是因为实在不知道该怎么处理非匀速的情况.

嗯，你可以选 7 ~ 8.4 之间的任何速度作为这个近似的速度(1秒所对应的7 - 左端点, 1.25 秒对应的 8.4 秒 - 右端点), 重要的是我们取一系列近似, 不管取成什么值, 最终所求行驶过的距离结果都会随着 dt 的不断减小而变得越来越好.

把车看作在做匀速运动, 但速度是不连续(速度会跳跃)的情况. 随着跳跃间隔不断减小，就会更加趋近于现实情况.

现在我们将车速定为每个间隔开始时的速度(左端点):

上面计算出来的1.75米, 也可以看成是这个小长方形的面积. 当然这个值要比实际的值小了一点点. 同理，对于其他的区间计算方式都一样. 近似距离是 v(t)*dt , 只不过每个式子中的 t 不尽相同, 所以小矩形的高度也不尽相同.

我们把这些长方形面积之和写成这样的表达式, 用这个看起来像被拉长的 S 的符号来表示加和.

这个符号包含了两种含义: 首先，dt 这个符号扮演来两种角色, 它不只是出现在我们相加的每个量里, 还表示了每个步长之间的间距. 所以在不断减小的 dt 过程中. 虽然每个小长方形的面积减小了, 但相加起来小长方形的数目也增加了. 宽度更窄，就意味着需要更多的小长方形来填满这块面积.

第二, 我们之所以不用常用的 ∑ 来表示加和, 是因为我们现在用的这个符号 ∫ 指的并不是具体的加和, 而是指在 dt 趋近 0 的时候, 累加和所趋近的值.

并且如你所见趋近的这个值就是曲线和 x 轴围成的面积. 记住, 当选择的 dt 越小, 就越趋近原来的问题, 在我们这个问题里就是汽车所行驶过的距离. 所以累加小矩形求和所趋近的值, 也就是曲线下方的面积, 就给了我们问题的精确解, 完全不需要近似的那种精确.

我们引入的这个相当复杂的近似方法, 需要把很多微小的量加合起来, 然而，这些近似所得到的值却可以用如此简单的形式来描述, 就是曲线下方的面积. 这一表述被称为 v(t) 的积分. 因为它量所有微小的量累积起来.

这样就把汽车行驶总路程的问题转化为曲线下方面积的问题, 类似将求函数图像与横轴所围成的面积是许许多多不相干问题的共同之处, 它们都可以被拆成很多小份. 然后求其总和.

下个视频，我们还会看到更多这样的问题. 现在我们只是概略地懂得, 如何解释并计算图像下方的面积是解决问题的非常常见的工具.

事实上，本系列的第一个视频已经说到了这个想法的基本原理, 既然现在我们已经掌握了更多有关导数的背景知识, 我们就可以完善这一想法了.

在我们的车速问题中, 把右端点当作一个变量 T, 我们考虑的就是速度函数在 0 到 T 之间的积分, 也就是曲线在这个区间内下方的面积, 把它看作以上限为自变量的函数. 对面就代表了汽车在走了 T 秒后所行驶的路程. 事实上这就是距离对时间的函数 s(T).

问题来了，这个函数的导数是什么？距离的微小变化比上时间的微小变化就是速度, 这就是速度的定义.

还可以用另一种方式考虑问题, 只和图像与面积有关, 这可以很好的推广到其他积分问题. dT 的变化导致面积增加. ds 就代表了这增加一小条的面积. 小条的高度就是那一点处函数的高度 v(T) , 其宽度就是 dT.

当 dT 足够小的时候, 就可以认为这一小条是长方形了, 增加的这个小面积 ds, 就可以近似等于 v(T)*dT 了. 因为这件事随着 dT 不断减小而更精确, 面积函数的导数  dsdTdsdT 在这一点就等于 v(T) , 也就是我们开始那边的速度函数的值, 这就引出了一个非常常见的说法: 任意函数图像下方面积的导数等于原先函数本身.

如果速度函数是 t*(8-t) , 但 s 应该是什么? 什么函数的导数是 t*(8-t) 呢?

展开写成 8t−t28t−t2, 每次只考虑一项. 哪个关于 t 的函数的导函数是 8t. 我们已经知道 t2t2 的导函数是 2t 了. 将其扩大 4 倍, 你觉得什么函数的导函数可能是 t2t2 呢?

运用幂函数求导公式, 可以知道对三次方项 t3t3 求导可以得到平方项 3t23t2, 将其缩小 1313 , 也就是 t33t33的导函数就正好是 t2t2. 加个负号 −t33−t33的导函数就是 −t2−t2.

因此 8t−t28t−t2的原函数就是 4t2−t334t2−t33. 但这里还有一个小问题, 我们可以在函数上加任意常数, 导函数仍是 8t−t28t−t2, 因为常数的导数永远是 0 . 如果你想画出 s(t) 的图像, 你可以这样想, 上下移动距离函数的图像并不影响在每一点处的斜率.

事实上有无数个原函数每个都形似 4t2−t33+C4t2−t33+C, 但是我们还剩了一个条件没有用上, 它将最终决定我们要使用哪一个原函数. 那就是积分的下限.

如果我们把右段的端点扯到左端点来, 积分一定是 0 . 汽车在 0 秒和 0 秒间走过的距离是 0.

我们已经推出为 T 自变量的面积函数, 至于函数上加的哪个常数的求法, 就只要减去原函数在下限时的值就行了. 稍微想一下就能发现, 这么做就是确保了从下限到下限的积分一定是 0 .

举个例子, 整 8 秒内走过的距离就是这个函数在 T=8 时的值.

更典型的例子应该是从 1 到 7 的积分, 也就是下图标识出来面积, 代表的就是从一秒到七秒之间走过的距离. 再减去它在下限 1 时的值. 注意我们在这里用那个原函数并不重要. 因为常数项会在相减的过程之中消掉.

在对任意函数积分时, 时刻记住你是把 x 在一定范围内的所有 f(x)*dx 值相加起来, 然后求趋近于 0 时, 加和趋近的值.

求积分的第一步是找原函数, 也就是另一个函数 F - 使其导数等于积分内的函数. 积分值就等于原函数在上限时的值减去其在下限时的值. 这个就是所谓的微积分基本定理.

这个定理中有点不可思议的那就是, 积分, 也就是这些小矩形的和的极限, 连续地遍历了从下限到上限的每一个自变量的值, 这是我们用积分这个词的原因, 它将所有的东西都累积起来. 然而, 在利用原函数求值的时候, 你只需要关注两个自变量, 积分的上限和下限.

这节视频思想是很深刻的，整个内容也相当丰富, 现在快速的回顾一下吧.

我们想只记录时速表来求出汽车过的距离, 但是速度在不断变化着，问题就变得很棘手. 如果把速度在每一很小的时间间断内近似为恒定, 你就可以用乘法算出车在每一个小份上走了多远, 再全加起来就好.

对原问题越来越好的近似, 就意味着小矩形的面积加和越来越接近从起始点到终点的曲线下方的面积. 曲线下方的面积就是在实际的, 时刻变化的速度下走过的距离.

如果你把这个面积也看作函数, 其自变量是右端点, 就可以推出面积函数的导数一定等于图像所在点的高度.

这正是关键所在, 这就是说求图像下面的函数就是在求导数是 v(t) 的函数. 事实上任意给定的函数都有无数个原函数, 因为在原函数后面加常数并不影响导函数. 在计算时减去原函数在下限处的值就可以了.

另外，在结束前不得不提到关于负面积的理解. 如果在某时刻速度函数为负怎么办？ 也就是这时车向后开了, 在很短时间内走过的距离 ds, 依旧等于当时的速度乘以极短的时间差, 只不过代入的速度值只是个负数. 变化的这一小段距离是负的罢啦.

对我们的细长条矩形来说, 如果矩形像这样出现在横轴下方, 面积就代表了向后走了一小段距离.

如果你最终想求的是车汽车从启动到停止走过的距离, 这部分是要减掉的.

这对积分来说也是适用的, 当图像位于横轴下方的时候, 那部分图像和横轴围城的面积就要看成是负的. 你会经常见到这种说法, 积分算的并不是字面意义上的面积, 而是图像和横轴所围成的带正负号的面积之和.

在下期视频中我会讲到更多有关积分和曲线下面积的内容, 也会讲到其他有关微积分基本定理的直观感受.

「予人玫瑰, 手留余香」

如果感到本文有些许帮助, 感谢转发, 支持本号更快发展!

遇见数学

拨开知识的层层密林，探寻美妙数学中的趣味。

感谢关注遇见数学!