第21讲 典型例题与练习参考解答:曲率与方程的近似解

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第21讲:曲率与方程的近似解

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例题与练习题

【注】如果公式显示不全,请在公式上左右滑动显示!

练习1:计算曲线在点处的曲率.

练习2:试问椭圆 在何处曲率最大(其中)?

练习3:求圆滚线  上点 处的曲率.

练习4:求的曲率半径 ,并分析何处 最小?

练习5:如果两曲线 及 在点 处有

及 ,则称这两曲线在点 处有 阶相切(或 阶接触). 设圆周

与已知曲线在点处有不低于二阶的相切,试推导出圆的半径 及中心 的表达式(假定 ).

练习6:求摆线 的渐屈线方程.

【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考,过程不一定是最简单的,或者最好的,并且有时候可能还有些许小错误!希望在对照完以后,不管是题目有问题,还是参考解答过程有问题,希望学友们能不吝指出!如果有更好的解题思路与过程,也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员,管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享,谢谢!

例题与练习参考解答

【注】如果公式显示不全,请在公式上左右滑动显示!

练习1:计算曲线在点处的曲率.

【参考解答】:由, .  代入 ,得 , . 故由曲率计算公式,得


练习2:试问椭圆 在何处曲率最大(其中)?

【参考解答】:【思路一】 由参数方程求导方法,有

由曲率计算公式,得

问题转换为求函数

的最小值. 令

则在区间内得 . 于是计算 , , , , 的值,得五点的函数值分别为, , , , . 由于 ,故最小值为. 即

也即椭圆在点 处曲率最大.

【思路二】 椭圆的直角坐标方程为

则由隐函数求导方法,得

代入曲率计算公式,且由 ,得

得 .


练习3:求圆滚线  上点 处的曲率.

【参考解答】:由参数方程求导方法,可得

在点处对应的参数,故在该点处有

所以,该点的曲率为


练习4:求的曲率半径 ,并分析何处 最小?

【参考解答】:由, ,则由曲率半径计算公式,有

故当 时曲率半径取最小值,且最小值为 .


练习5:如果两曲线 及 在点 处有

及 ,则称这两曲线在点 处有 阶相切(或 阶接触). 设圆周

与已知曲线在点处有不低于二阶的相切,试推导出圆的半径 及中心 的表达式(假定 ).

【参考解答】:由圆的方程两边对 求一次、二次导数,得

由此解得

代入圆的方程并化简得

由于在已知在点 处,

从而可得圆心坐标和半径分别为

【注】:以上计算得到的圆即为函数 描述的曲线在点 处的曲率圆,得到的圆心坐标和半径分别为曲率中心的计算公式和曲率计算公式.


练习6:求摆线 的渐屈线方程.

【参考解答】:曲线的渐屈线方程即曲线的曲率中心形成的轨迹. 曲率中心坐标的计算公式为

由参数方程求导方法,得

代入以上公式则得曲率中心的参数方程

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