面积计算（十八）

同学们看好了，老师我要变了！

这恐怕是数学课上为数不多的笑点，不过也是让人最为头疼的地方。

无数的家长在自己还是学生的时候，看见数学题中的变形也是心惊胆战，讲真，谁又不怕呢？明明教的是1，作业就变成了2，考试考的是3，然后一讲解发现竟然是一回事？！

哪儿说理去。

数学学习的最低层次就是埋头刷题，最高层次就是掌握本质。事实上很多人连埋头刷题都做不到，而比埋头刷题稍微好一点的就是有意识去总结，对比同类型的题目的变化，这个能做好已经是优等生了。掌握本质这个事情吧，随缘就好。

我们来看一些变化。

如图：两个正六边形的面积都是2019，中间连接部分是个正方形，求阴影部分面积。

我们知道肯定是等积变换，而且一定是正六边形面积的几分之几——因为作为小学生来说，并不具备算出这个正六边形边长的能力，更没有办法算出阴影部分的底和高。

现在的问题是，正方形太少了，只有一个，我就算连了对角线，那也找不道第二个正方形出来对角线平行啊？没有两条平行直线，哪来的梯形呢？没有梯形怎么完成等积变换呢？

讲真，如果能够想到这个地步，其实已经是还不错的学生了——你要想会变通的前提就是对于原有的技能要非常熟悉。

所以，第一步肯定不会是去连正方形的对角线了。

那么怎么做等积变换呢？那就要找这里有哪些平行的线段？事实上，平行的线段并不少，正方形的两组对边，每个正六边形的三组对边都平行，而且两个正六边形之间还有不少平行的线段——问题是这些平行线段并不能帮助我们对阴影部分做等积变换啊。

我们考虑把正方形的一条边延长，以及连接右边正六边形的这条对角线，会发现一个隐藏的直角梯形GCDE，于是我们马上可以得到△GBD的面积等于△BCE的面积。

这一步是整个题的题眼所在，当然我可以编造出许多的道理告诉你是怎么找到的，但是讲道理这些道理真的没什么道理——换句话说，这一步需要敏锐的观察力和一点想象力，对于小学生来说，要求非常高，也不是每个学生都能想到的，所以这个题绝对是个区分度很高的题。

有了这一步，后面的步骤相对就比较容易了。

这里顺便再说一下很多人的疑惑：为什么我听得懂但是到自己就做不出？

你拆收音机方便不？装回去呢？一样的道理，大海捞针为什么难？因为不知道针在哪里，你连个方向都没有，全靠摸索；老师给你讲了，相当于告诉你针的方位，范围一下子缩小了太多。所以破题是很难的，抓题眼一靠训练，二也要靠一点运气。

书归正传，我们把每次等积变换的过程按次序排好，是不是一目了然了？

通过这三张图，我们已经把△GBD的面积成功地转化成了正六边形中的一部分——△AFB的面积。

如果注意到△FGB和△ABF是等高的，并且AB的长度恰好是六边形边长的2倍，那么可以得到△ABF的面积是梯形FGBA面积的2/3——也就是正六边形面积的1/3，所以阴影部分的面积为2019/3=673.