三角形（十）

很多学生，包括家长还是学生的时候，看例题就跟看小说一样的感觉，其实这样就失去了一次锻炼的机会。正确的做法是拿到题目以后自己先想一想，想什么呢？做题的轮廓。

在这个过程中，不求细节，只要大致的思路，这个过程不宜太长，一分钟左右就差不多了——因为考试的时候不可能给你太多的时间找思路。然后你要做的就是把自己的思路和解析做个对比，看看自己是否走在一条正确的路上，这样对你快速找思路是一种很好的训练。

如果和答案的思路不一样，那么接下来又分两种情况：一，你的方法也是对的；二，你的方法是错的。你可以在把题看完之后自己再推一推，看看属于哪种情况。

这个方法不光对几何，对代数一样有用。当然，一开始的时候时间可以适当延长一些，然后逐步缩短，否则一分钟时间到了啥也没想出来也达不到锻炼的目的。

我们接着看三角形全等的例子。

在凸四边形ABCD中，∠ADB=∠ABC=105°，∠DAB=∠DCB=45°，求证CD=AB。

全等在哪里呀全等在哪里？

按惯例，四边形的问题，考虑连一下对角线，于是我们连接AC，发现。。。一组全等都出不来，所以此路不通。

再回头想，我们的目标到底是什么？

找全等。而图中两个三角形显然不全等，而且连对角线未果，那么接下来该怎么办呢？

看看能不能作出和这两个已知的三角形全等的图形相信是个不错的选择。下一个问题自然是：该挑哪个作为目标呢？

作为我个人习惯，挑△ABD比较好，即找到一个三角形，使其与△ABD全等。理由是△ABD占的地方比较少，好处理一些。

然后再看要证明的结论，是CD=AB，所以比较合理的应该是△ABD和△CDX全等，这个X在哪里呢？

平面几何中一个常用的办法就是假设结论成立，我们反推看看能得到什么结论？CD=AB，结合∠A=∠C，如果我们再截CE=AD，那么△CDE和△ABD就全等了！这能不能作为努力的目标呢？

这个时候，作图如果准的话，我们就不妨去量一下其他对应的角和边，这时候发现目标三角形看来确实是全等的。下一个问题：怎么证明？

如果我们截取CE=AD，第一个问题就来了：你怎么知道CB的长度一定比AD长呢？能截取的前提条件应该是CB>AD啊！就算我们默认了可以这样截取，那么还缺一条边或者一个角的条件，但是由于SAS的限制，因此另外一条需要证明的边恰好是结论，所以我们还要找到一组角相等，可是无论如何我们也得不到∠CDE=∠DBA或者∠CED=∠ADB的结论。

又走成绝路了？

不要怕，再回头看看，这两个三角形确实全等，所以大致的方向是对的，那么导致我们得不到全等的原因在哪里？一定是截取CE出了问题！可我们确信CE=AD是我们要的，那么能不能换一种办法来得到这个结论呢？

考虑到题设中这么多的角度，我们发现似乎两个105°角的条件并没有用起来？我们看看再把这两个角度用起来会得到哪些结论呢？

很容易知道，∠DBA=30°，于是∠CDE=30°，∠CBD=105°-30°=75°，于是∠CDB=180°-75°-45°=60°，∠EDB=60°-30°=30°，∠DEB=180°-75°-30°

=75°，发现什么没有？

△DEB是个等腰三角形，而且∠EDB=∠DBA=30°，一切归根到底，我们只要作DE∥AB，就可以反推出上述所有的结论。

通过这个例子，我们可以看出，把结论当做条件来用，然后推出一些其他的中间结论来拓宽思路是一种非常好的办法。