小学计算（二）

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再比如：

计算1+2+4+……1024

当然，如果您的职业是程序猿的话应该直接脱口而出2047，毕竟比起二进制来谁也玩不过你们——就像当年我们看着学通信的口算傅立叶变换和逆变换惊为天人的感觉一样，这个实在是太熟悉了，都近乎尔等码农的本能反应了。

但是现在面对的是十岁左右的小伢儿，怎么把这个解释明白呢？

只要我们有高中数学的技巧，马上来一句：错位相消，题目就做完了。这样的锻炼效果恐怕不会太好。就让他自己琢磨。这一上来之后肯定是抓瞎啊，但是扭头一看你虎视眈眈地准备连他妈（爸）一块打的样子，不得抓耳挠腮一下？

只要他加了前几项，就会发现永远比后一项少一，所以最后结果就应该是2047.

这时候你在肯定的同时，要追问一句：为什么会是这个结果？

再抓瞎一次。

人渴的时候喝水，才能感受到那种愉悦。同样的，你真要孩子掌握住一项技能，一定先要让他吃点苦头，最好是吃尽苦头。

当他想不出来的时候，你就问他，把整个式子乘以2变成多少？

答：2+4+……1024+2048，此时减去原来的式子得到多少？变成2048-1=2047，两倍的整个式子减去原式，剩下的不就是原式了？

更直观一些，设x=1+2+4+……1024，2x=2+4+……1024+2048，x=2047.

这就是错位相消了。

推广一下，计算1+3+9+……6561=？

这个时候孩子就要模仿了，两边乘以多少合适？还是2？他会发现乘以2以后得到的式子和原式相比完全没有相同的项，这说明乘的不好。那么该乘多少？如果孩子能发现乘以3，那么再进一步引导：如果是1+x+x^2+……x^n是多少呢？

这些都属于规律性比较好找的题。那么规律比较隐蔽的情况呢？

计算

直接算当然是个办法，但绝对不是好办法。

我们可以看到，在这个式子里，是个常规的数字，麻烦的是后面的部分

这个怎么处理呢？

我们看到，1999的平方是分子分母共有的部分，所以关键在后面的怎么处理。再一看，小学没有负数的概念啊！那怎么办呢？那就从头开始。

所以后面这部分就等于1了。

一般情况下，我们并不建议这么做。

我们可以缩短每个阶段的练习时间，但是尽量不要越过练习的阶段。膨胀要不得，不管是家长还是孩子。

比如请计算：

所以我们还是先看看简单的点的，比如从1到2008这2008个自然数的数字之和是多少？

看清楚，是数字之和，不是让你仿照高斯大神求和。

首先我们看，一位数数字和：从1加到9；

两位数数字和就麻烦一些，首先要考虑1打头的，从10到19，和分别从1到10；2打头的，从2到11，一直到9打头的，和从9到18；

三位数呢？对于1开头的三位数，等于一位数数字和加二位数数字和加100；2-9开头的以此类推。

四位数呢？对于1开头的，就是所有三位数数字和加1000；2开头的四位数，总共就9个，穷举也就算完了。

但是这样看起来仍然挺麻烦。因为所有的二位数数字和还是挺难计算的。那么有没有更好的办法呢？

从1到2008，最后这9个数先不考虑，那么从1到1999，个位数从0-9，大家出现了各200次；十位和百位也都是个200次；千位的1出现了1000次，所以1到1999数字和为45×200×3+1000=28000.然后加上后面2×9+1+2+……8=54，所以和为28054.

有人说了，贼老师，你不是一直提倡考试的时候用常规方法么？这不是自相矛盾？

并没有。

平时训练要精益求精，是为了加大考试的时候能迅速找到巧妙解法的几率；而考试的时候要当机立断，是万一找不到巧妙解法时拿分的关键。所以这个分寸是要靠练的，考试，也是一门学问。

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