压轴题打卡4：几何与函数有关的综合问题

如图所示，过点F（0，1）的直线y＝kx+b与抛物线y=x²/4交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＞0）．

（1）求b的值．

（2）求x₁·x₂的值．

（3）分别过M，N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是 M₁和N₁．判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论．

（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

参考答案：

考点分析：

二次函数综合题、代数几何综合题。

题干分析：

（1）把点F的坐标代入直线可以确定b的值．

（2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x₁·x₂的值．

（3）确定M₁，N₁的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M₁F²，N₁F²，M₁N₁²，然后用勾股定理判断三角形的形状．

（4）根据题意可知y＝－1总与该圆相切．

解题反思：

本题考查的是二次函数的综合题，（1）由点F的坐标求出b的值．（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值．（3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状．（4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置．