利用帕德逼近拟合指数函数e^x

这是今天群里询问的一个题目：

做法不唯一，由于结论比较松，因此不算很难的题目，这里给出我个人的一个做法，也稍微谈谈类似这种题目的处理思路。

首先简单处理一下，

其实为了处理这类问题方便，最好记住一些函数的大致图像，尤其是极值点往哪边偏，比如本题涉及的g(x)图像大致如下：

现在我们考虑拟合。为了拟合，我们要找到这样一个函数h(x)，他有两个零点，且积为1/a；其次在x=1的左边的图像，要在g(x)下方，同时在x=1右边的图像，要在g(x)上方，示意图如下：

有同学就要问了，那这么合适的函数，哪里找的到呢？所以这里就要祭出帕德逼近了。关于e^x，有一个帕德逼近：

当然这个逼近主要是在[-1,1]区间内比较紧，只要用x-1替换x，就很适合本题，当x∈(0,2)时，有如下逼近：

利用这个逼近就可以符合要求的函数进行拟合：

比较容易证明h(x)有两个零点，并且乘积为1/a，于是问题的关键就在于如何证明那个帕德逼近。容易的证法是用积的形式证而不是用差：

拟合完毕，接下来的证明就很简单了：