高中数学，f(x)=ax有根且f(x)带字母，新题型新模板，学霸：实用
原题
原题：已知函数f(x)=x^2/(x－1),x<0，f(x)=x^3－(a+1)x^2+2ax，x>0.若方程f(x)=ax有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是？
A.(－1,0)
B.(0,1)
C.(0,1]
D.(1,+∞)
图一
这道题也是函数和方程的题型，之前我们讲过一个类似的题型，但是那个题型中给出的函数是不带字母的，而这道题中给出的函数却是带着字母的。
那还能用原来的方法解题吗？
很显然，不能。
因为当函数中带有字母时，我们是不能得出该函数的大致图形的，由于字母存在不确定性，就使得整个函数图形处于变化之中，所以之前类型题型的解法在这里是不适用的。
那这样的题该怎么解决呢？
这样的题分为两种方法：第一，如果该题型比较简单，则通过分段函数的形式列出两个方程，通过解方程的方式得出该方程根，再根据给出几个根的情况讨论a的值；第二，就是通过分段函数列出的方程不能解出方程的根，这个时候是需要根据分离参数的方法，即将字母a单独的表示出来，将等式的左右两边看成是函数和直线y=a有交点的问题，从而得出a的值。
第一类解法
第一步，得出方程。
因为方程f(x)=ax，根据分段函数，则得出两个方程，即当x≤0时，则有方程x^2/(x－1)=ax；当x>0时，则有方程为x^3－(a+1)x^2+2ax=ax。
第二步，得出方程的根。
当x≤0时，将方程x^2/(x－1)=ax整理得到x=0，解得到x=0或者x=a/(a－1)，a≠1。
当x>0时，将方程x^3－(a+1)x^2+2ax=ax整理得到x=x(x－1)(x－a)=0，因为x>0，所以x=1或者x=a——注意这里x≠0.
第三步，讨论根的情况。
因为方程f(x)=ax有四个不等实根，根据第二步根的情况，则有
当x≤0时，满足两个实根，因为此时存在明确一根，即x=0，所以x=a/(a－1)一定存在且在该区域内且不等等于0，即a/(a－1)<0，且a≠1，解得到0<a<1.
当x>0时，也要满足两个根才能保证有原方程f(x)=ax有四个不等实根，且此时也有一个明确的根，即x=1，所以此时x=a≠1，且a>0.
综上所述，就得到了a的取值范围，即a∈(0,1)，所以答案选B。
第二类解法
第二类解法与第一类解法不同的就是在做该题的过程中，根据分段函数得出的两个方程不能够直接通过因式分解得出根的情况时所采用的方法。
1.由第一类解法得出两个方程：当x≤0时，x^2/(x－1)=ax；当x>0时，为x^3－(a+1)x^2+2ax=ax。
2.分离参数。
当x≤0时，方程x^2/(x－1)=ax将其变形得到a=x^2/x(x－1)，x≠0，设g(x)=x^2/x(x－1)，则该方程就转化成为g(x)=a，这是将g(x)=a就可以看成是函数g(x)与直线y=a有交点的情况。
验证x=0式的情况：将x=0时代入方程x^2/(x－1)=ax符合题意，即x=0是该方程的一个根，因为上述0不等作为除数，所以要将x=0单独说明。
当x>0时，方程x^3－(a+1)x^2+2ax=ax变形为a=(x^3－x^2)/(x^2－x)，此时x≠1，一会要将=1时单独说明。
设h(x)=(x^3－x^2)/(x^2－x)，则该方程变为h(x)=a，即可将该方程看成是函数h(x)与直线y=a有交点的请款。
验证x=1的情况：将x=1代入方程x^3－(a+1)x^2+2ax=ax中，该等式成立，所以x=1是x>0上的一个根。
综上所述，分段函数f(x)已经有两个不等实根，即x=0和x=1，所以只需要再有两个实根即可。
3.借助函数图形得出范围。
当x<0时，得出函数g(x)=x^2/x(x－1)的图形。
函数g(x)的一次导数为g＇(x)=－x^2(2－x)/=－(2－x)/(x－1)^2，因为x<0，所以g＇(x)<0，所以此时函数g(x)是单调递减函数。
当x趋近0负时，函数g(x)=x^2/x(x－1)=x/(x－1)=1/(1－1/x)趋近0正；
当x趋近负无穷时，函数g(x)=x^2/x(x－1)=x/(x－1)=1/(1－1/x)趋近1.
根据函数g(x)的单调性以及极限，画出x<0的图形：
图二
当x>0时，得出函数h(x)=(x^3－x^2)/(x^2－x)，(x≠1)的图形。
对函数h(x)=(x^3－x^2)/(x^2－x)=x求导得到一次导数h＇(x)=1>0恒成立，所以函数h(x)在区间(0,1)上是单调递增的，在区间(1.+∞)也是单调递增的。
当x趋近0正时，函数h(x)=x趋近0正；
当x趋近1左时，函数h(x)趋近1；
当x趋近1右时，函数h(x)趋近1；
当x趋近正无穷时，函数h(x)趋近正无穷。
根据函数h(x)的单调性和极限就可以得出函数h(x)的图形。
将两个图形在在一个图形中，即
图三
因为上述已经有两个不等实根，所以只需要再得出两个不等实根即可。
如图三所示，要想直线y=a与两个函数g(x)和h(x)存在两个交点，则当a在区间(0,1)即可。
所以a的取值范围为(0,1)。
总结
上述类型题其实大题的思路是一样的，只是第一类解法比较实用简单的该类型题，而第二类解法是实用大多数的该类型题。
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