机械设计常用的数学公式汇总（2）
书接上回，机械设计常用的数学公式汇总之平面三角公式，值得收藏。话不多说，请往下看是不是有漏掉的。
1、三角函数的定义
2、任意角三角函数诱导公式
常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin （2kπ＋α）＝ sin α
cos（2kπ＋α）＝ cosα
tan （2kπ＋α）＝ tan α
cot （2kπ＋α）＝ cot α
公式二：
设α 为任意角， π+α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系：
sin （π＋α）＝－ sin α
cos（π＋α）＝－ cosα
tan （π＋α）＝ tan α
cot （π＋α）＝ cot α
公式三：
任意角α 与 - α 的三角函数值之间的关系：
sin （－ α）＝－ sin α
cos（－ α）＝cosα
tan （－ α）＝－ tan α
cot （－ α）＝－ cot α
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π- α 与α 的三角函数值之间的关系：
sin （π－α）＝ sin α
cos（π－α）＝－ cosα
tan （π－α）＝－ tan α
cot （π－α）＝－ cot α
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π- α 与α 的三角函数值之间的关系：
sin （2π－α）＝－ sin α
cos（2π－α）＝cosα
tan （2π－α）＝－ tan α
cot （2π－α）＝－ cot α
公式六：
π/2 ±α 与α 的三角函数值之间的关系：
sin （π/2 ＋α）＝ cosα
cos（π/2 ＋α）＝－ sin α
tan （π/2 ＋α）＝－ cot α
cot （π/2 ＋α）＝－ tan α
sin （π/2 －α）＝ cosα
cos（π/2 －α）＝ sin α
tan （π/2 －α）＝ cot α
cot （π/2 －α）＝ tan α
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k2 π/2 ±α(k ∈Z)的个三角函数值，
①当k 是偶数时，得到α 的同名函数值，即函数名不改变；
②当k 是奇数时，得到α 相应的余函数值，即
sin →cos;cos →sin;tan →cot,cot →tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α 看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin(2 π－α) ＝sin(42 π/2 －α) ，k＝4 为偶数，所以取sin α。
当α 是锐角时，2π－α∈(270°，360°) ，sin(2 π－α) ＜0，符号为“－”。
所以sin(2 π－α) ＝－sin α
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α 视为锐角时，角k2360°+ α（k∈Z），- α、180°± α，
360° - α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断， 也可以记住口诀“一全正； 二正
弦；三为切；四余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
上述记忆口诀, 一全正, 二正弦, 三正切, 四余弦
其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tan α 2cot α＝1
sin α 2csc α＝1
cosα 2sec α＝1
商的关系：
sin α/cos α＝tan α＝secα/csc α
cosα/sin α＝cot α＝cscα/sec α
平方关系：
sin^2( α) ＋cos^2( α) ＝1
1＋tan^2( α) ＝sec^2( α)
1＋cot^2( α) ＝csc^2( α)
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：
构造以' 上弦、中切、下割；左正、右余、中间1' 的正六边形为模型。
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上
函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。
（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值
的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin （α＋β）＝ sin αcosβ＋cosαsin β
sin （α－β）＝ sin αcosβ－cosαsin β
cos（α＋β）＝ cosαcosβ－sin αsin β
cos（α－β）＝ cosαcosβ＋sin αsin β
tan α＋tan β
tan （α＋β）＝——————
1－tan α 2tan β
tan α－tan β
tan （α－β）＝——————
1＋tan α 2tan β
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2 α＝2sin αcosα
cos2α＝cos^2( α) －sin^2( α) ＝2cos^2( α) －1＝1－2sin^2( α)
2tan α
tan2 α＝—————
1－tan^2( α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
1－cosα
sin^2( α/2) ＝—————
2
1＋cosα
cos^2( α/2) ＝—————
2
1－cosα
tan^2( α/2) ＝—————
1＋cosα
万能公式
⒌万能公式
2tan( α/2)
sin α＝——————
1＋tan^2( α/2)
1－tan^2( α/2)
cosα＝——————
1＋tan^2( α/2)
2tan( α/2)
tan α＝——————
1－tan^2( α/2)
万能公式推导
附推导：
sin2 α=2sin αcosα=2sin αcosα/(cos^2( α)+sin^2( α))......* ，
（因为cos^2( α)+sin^2( α)=1 ）
再把*分式上下同除cos^2( α) ，可得sin2 α＝2tan α/(1 ＋tan^2( α))
然后用α/2 代替α 即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式
α＝3sin α－4sin^3( α)
cos3α＝4cos^3( α) －3cosα
3tan α－tan^3( α)
tan3 α＝——————
1－3tan^2( α)
三倍角公式推导
附推导：
tan3 α＝sin3 α/cos3 α
＝(sin2 αcosα＋cos2αsin α)/(cos2 αcosα-sin2 αsin α)
＝(2sin αcos^2( α) ＋cos^2( α)sin α－sin^3( α))/(cos^3( α) －
cosαsin^2( α) －2sin^2( α)cos α)
上下同除以cos^3( α) ，得：
tan3 α＝(3tan α－tan^3( α))/(1-3tan^2( α))
sin3 α＝sin(2 α＋α) ＝sin2 αcosα＋cos2αsin α
＝2sin αcos^2( α) ＋(1 －2sin^2( α))sin α
＝2sin α－2sin^3( α) ＋sin α－2sin^2( α)
＝3sin α－4sin^3( α)
cos3α＝cos(2 α＋α) ＝cos2αcosα－sin2 αsin α
＝(2cos^2( α) －1)cos α－2cosαsin^2( α)
＝2cos^3( α) －cosα＋(2cos α－2cos^3( α))
＝4cos^3( α) －3cosα
即
sin3 α＝3sin α－4sin^3( α)
cos3α＝4cos^3( α) －3cosα
三倍角公式联想记忆
记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角： 3 元减 4 元3 角（欠债了( 被减成负数) ，所以要“挣钱” ( 音
似“正弦” ) ）
余弦三倍角： 4 元3 角减 3 元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名， 即正弦的三倍角都用正弦表示， 余弦的三倍角都用余弦表
示。
和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
α＋β α－β
sin α＋sin β＝2sin —---- 2cos— ---
2 2
α＋β α－β
sin α－sin β＝2cos—---- 2sin — ----
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—----- 2cos— -----
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin —----- 2sin — -----
2 2
积化和差公式
⒏三角函数的积化和差公式
sin α2cos β＝0.5[sin （α＋β）＋ sin （α－β）]
cosα2sin β＝0.5[sin （α＋β）－ sin （α－β）]
cosα2cos β＝0.5[cos （α＋β）＋ cos（α－β）]
sin α2sin β＝－0.5[cos （α＋β）－ cos（α－β）]
和差化积公式推导
附推导：
首先, 我们知道
sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理, 若把两式相减, 就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的, 我们还知道
cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以, 把两式相加, 我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理, 两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样, 我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好, 有了积化和差的四个公式以后, 我们只需一个变形, 就可以得到和差化积
的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b 设为y, 那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b 分别用x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
任意角三角函数诱导公式表
3、三角函数基本公式
1)一个角的诸函数的基本关系
2)一函数以同一角的其他函数表示式
3)和差公式
4)倍角公式
5)积化和差公式
6)和差化积公式
7)半角公式
8)函数的乘方
9)其他常用公式
4、任意三角形常用公式
正弦定理
余弦定理
正切定理
面积
a边上的高
a边上的中线
A角的二等分线
外接圆半径
内切圆半径
半角公式
5、任意三角形边和角的公式
1)已知,一边和二角α、∠A、∠B。求其余要素的公式：
2)已知,二边及其夹角a、b、∠C。求其余要素的公式：
3)已知,二边和其一对角a、b、∠A。求其余要素的公式：
4)已知,三边a、b、c。求其余要素的公式：
注意：
① 表示如a＞b，则∠B＜90°，这时只有一值。如a＜b，则当bsinA＜a时，∠B有二值(∠B2＝180°-∠B1)；当bsinA＝a时，∠B有一值即∠B＝90°；当bsinA＞a时，三角形不可能。
6、反三角函数
今天就到这了。明天更新常用曲线方程。敬请期待……