数学与气候
丁玖 译
当实在找不到“寒暄”的话头时，人们总喜欢从天气开始聊起。那些居住在季节变化剧烈的地方的人，随便怎么都能聊起来，比如太冷啦、太热啦、太潮湿啦，又或者说，积雪是多么让人怜爱，结果这么快就都被铲光了，实在让人心痛啦，等等。天气的多变，恰是现实生活的一个不变量。然而，如果真说到气候的话，情况又如何呢？
1963年秋季，我开始了在美国威斯康星大学的数学研究生的学习生涯。秋天开学的时候我从纽约的家中乘巴士前往学校所在地麦迪逊，带着一年在那里要用的行装。第一个寒假，我人生第一次乘飞机。我记得，当我抵达麦迪逊机场时，看到了一个指示牌上面写道，温度低达零下25度。我吓了一大跳，因为我不敢肯定，飞机是否真的在零下25度的天气里还能飞得起来。令人感到欣慰的是，伯努利原理和牛顿定律在这个范围内总算还适用！麦迪逊的朋友们告诉我，尽管那里冬天现在依然寒冷，但比起20世纪60年代中期要好多了。40年的时间，对于个人的生命来说可算是很长的一段岁月了，但放在地质学的尺度上却只是短短一瞬。
随着冰盖和冰川的融化，随着海平面的提高而出现的海岸线侵蚀和洪灾，以及汇入北冰洋的淡水量的改变造成的洋流系统的破坏，人们开始认真关注地球的现期和中期的气候变化。有关全球变暖的议论已经很多，但也有部分人认为根本没有这回事。
从本质上说，气候和天气不同，它关注的是跨越较长时间尺度的议题。所以，对于过去的数天、数周乃至数年成立的事实，并不一定能对于气候这样的议题展示出什么意义。
每年4月，我们都会迎来数学宣传月。今年的主题是“数学和气候”，那么数学能够带来怎样的洞见，帮助我们更好地了解气候？数学是否还可以使我们了解气候在较小时间规模的表现，也就是天气呢？
研究气候的数学工具
固然数学成长的一部分动因是要解决数学之外的问题（比如，牛顿发明微积分的部分原因想理解重力以及行星运动，欧拉也写过一篇论文来论述帆船的桅杆应该放置在什么位置才是最合适的），它也还有另一个动因，那就数学家出于他们自得其乐的目的，来寻觅各种各样的美妙花样。尽管博弈论可用来理解经济和政治学中出现的问题，但它从被发明出来的那一天起就开始自行其道，发展出了很多与具体应用无关的方法和思想。数学和气候这个题目，看起来和博弈论并不太相干，可是人们已经开始利用博弈论来帮助全世界更好地解决地球上影响气候的各种问题了。由于数学有着抽象和概括的能力，它成为了一种独特的工具，为众多需要数学帮助的领域提供了洞见，包括气候问题。
当出现了一个数学领域之外的问题时，具备数学技能的人们往往会从构造这个新领域的数学模型来入手。所谓数学模型，即复杂现实的简化表示。构造模型这件事的价值在于，它可以让人明确地看到做了哪些简化假设，并透过模型看到它提供的“预测”和“洞见”，并利用这些结果，或者继续优化模型，或者进行能够提供反馈的实验来检视模型结果的有效性。
另一种不同的做法是把业已存在的工具应用到人们感兴趣的领域，来研究有哪些东西会浮现出来，并成为该领域中的关键问题。在探讨气候问题时，我们主要使用了哪些数学工具呢？
变化，是诸多自然现象的核心。伟大的数学家兼物理学家牛顿需要知道一个量是怎样随着另一个量变化的，来获取他有关重力性质和行星运行的深刻见解。为了做到这一点，他在前人思想的基础上“发明”了微积分。微积分（还有别的很多东西）是有助于了解某个量如何随其他量变化的数学工具。用现代术语来说，若有一函数将某变量与其他变量联系起来，例如，d=f(t)，则可以求出其关于时间的平均变化率。因此，如果d表示距离、t表示时间，就可以计算出平均时速。例如：
d(t)=1/2t^2+4,
因此，在t=0的时刻，d为4；而当t=4时，d为12。由于在4个时间单位内走过的距离为8，这段行程的平均或中间速度为2。
牛顿找到了一个办法，从求平均变化率改进到求瞬时变化率。如果你告诉朋友，你以每小时30英里的平均速度走了150英里的行程，他就可以求出，你花费的时间是5小时。可实际上，在行程中有时你的速度可能会达到时速60英里，但如你堵在路上等着前方清理一起交通事故，或是停下来喝杯咖啡时，你的速度又会变成每小时0英里。这里，你行程中的“瞬时”速度就是车载速度仪上的读数，它能告诉你任意给定时刻你的车速有多快。函数的导数这个概念，赋予人们从d=f(t)这样的函数计算瞬时速度的能力，前提是d=f(t)有“良态的”性状。导数一般写作df/dt或f'(t)，这么一来，若f表示一个距离函数，则df/dt就表示其瞬时速度。
牛顿了解到，对多项式函数（简化起见，此处设n
为正整数）
y(t)=t^n,
其导数为
dy/dt=nt^{n-1}.
比如，y=t^2，则df/dt=2t。另外，若y=g(t)的导数为y=g'(t)，则有y=kg(t)的导数为y=kg'(t)，其中
为常数。因此，函数与常数的积的导数，恰等于该函数的导数与该常数的积。此外，常数函数的导数为
。这个事实是有道理的，因为如果某个变量没有发生变化，那么它的瞬时变化率的确应该是0。还有，两个（或更一般地说，有限个）函数和的导数，等于函数的导数的和。（然而，积的导数一般地并不等于导数的积，尽管刚开始学习微积分的学生们都很能发现确实存在某些函数符合这个规律。）
如果把这些思想应用于上述方程d(t)=t^2/2+4，我们可以得出这个函数的导函数就是t。我们可以推得，在时刻4的瞬时速度为4。
如果我们再对速度函数求导数，就能得到二阶导数，可以认为它是速度随时间的瞬时变化率，因此，它就是物理学家所说的加速度。这么一来，牛顿就能够利用这种新的导数工具来给出很多自然定律的公式。因此，著名的牛顿力学定律的公式就取成了一个微分方程：
F=ma,
在该公式中，a表示距离的二阶导数。
同样地，牛顿还提出过冷却定律，这和气候问题有点儿关系，该公式同样有着微分方程的形式。牛顿冷却定律（Newton's Law of Cooling）是用来描述给放置到“新的”温度环境的物体所产生的温度变化的，比如说，把置于室温下的小球浸入冰水时，该定律表述如下：
dT/dt=k(T-E)
其中，T表示物体在时刻t的温度，E表示“被放置”的环境的温度（该值一般为常数），
是给定的正常数。用文字来表述这条定律的话，就是说物体的温度变化率正比于物体的温度和周围环境之差。
如果知道
exp(kt)的导数是kexp(kt)，则上面的冷却定律之微分方程的“通解”是：
T(t)=a*exp(kt)+E
在求解微分方程的基础上，比如在求得牛顿冷却定律相关的通解以后，可以做一些实验或进行一些观察，来确认微分方程这个数学模型与所要探索的现象在怎样的精度上是符合的。
那末，当一个量随着多个变量的变化而变化的话，又该怎么办呢？这是更为常见的情形，因为毕竟一个变量仅随着另一个变量变化的情形是不多见的。那么，在这种情况下，人们要怎样来计算变化率呢？有一种解决之道是把除一个变量之外的所有其他变量都取定值，然后对这个硕果仅存的变量计算导数，而把所有其他的变量都视为常量。这种思想就叫做求偏导数。
下面是一个简单的例子：若
y=4s^2t^3
则
dy/ds=8t^3s, dy/dt=12s^2t^2.
上面第一个式子中，我们把t视为常数并对s求“正常”导数；而在第二个式子中，我们把s视为常数并对t求“正常”导数。为这些偏导数找到几何解释并不难，只要在此使用三维图形就可以了。
物理学中的许多重要定律，都可以给出偏微分方程形式的公式。这样的例子有热传导方程、波动方程，以及拉普拉斯方程等。对这些方程的研究，以及人们多年来对于数学物理这门学科发生的兴趣，都与很多著名的数学实践家是分不开的，他们中有欧拉、拉普拉斯、柯西，以及傅立叶等。
其中还有一些不那么知名的，如工程师兼物理学家克劳德-路易·纳维（Claude-Louis Navier，1785-1836，见下图）：
以及物理学家兼数学家乔治·斯托克斯（George Stokes，1819-1903，见下图）：
这些学者的兴趣在于想要理解流体运动的规律。牛顿也对于流体一直很有兴趣，并且以他的名字命名了今天我们所谓的牛顿流体力学。牛顿流体就是可以使用术语“粘度”来描述的流体。直观地说，粘度所度量的是流体流动时的阻力。蜂蜜和水都是液体，但它们有着非常不同的粘度。无论如何，利用牛顿之后研发的数学工具，人们取得了更长足的进步。更复杂的纳维－斯托克斯方程（皆为偏微分方程）也适用于牛顿流体，但它们所建立的模型达到了更详尽的水平。这些方程可用以处理各种不同的情形。由欧拉完成的流体动力学研究，以及现在的欧拉流体动力学方程，可以看作纳维－斯托克斯方程“受限情形”。然而，尽管欧拉和纳维－斯托克斯的方程为描述流体流动提供了非常卓有成效的洞见，并早已为研究流体的工程师所用，但从数学的角度看，结果并不那么令人满意。其中部分的原因正如来自普林斯顿的该领域专家查尔斯·费夫曼（Charles Fefferman）所言，在于“欧拉流体动力学方程的解函数性状与纳维－斯托克斯方程的非常不同。”此外，“纳维－斯托克斯方程和欧拉流体动力学方程是否总是有解，以及它们能否在有限时间内‘中止’，专家们尚未就这些问题达成共识。”要想通过严格证明取得明确答案，看起来仍然前路漫漫。流体流动的问题，由于所研究的流体性质不同会发生变化，比如血液、咸水、淡水等等就不一样，它还与流动发生的环境（比如在大的管道，毛细管道或灌溉沟渠）有关。而尝试处理各种情况时出现的数学建模问题，可以大大拓展我们对于理论和实践的认识。
纳维－斯托克斯方程某种程度上，可以视为方兴未艾的计算流体动力学的基础。致力于该领域的许多实验室已经在世界各地如雨后春笋般涌现。由于需要大量的计算资源来使用这些模型并执行数值计算，以及对纳维－斯托克斯方程相关的问题进行求解，数学家和计算机科学家们已经参与到发展更快、更灵活的“超级计算机”的事业中去。
与纳维－斯托克斯方程紧密相关的，是英国数学家奥斯鲍恩·雷诺（Osborne Reynolds，见下图）做的研究，而雷诺数（Reynolds number）就是因他而得名。
雷诺的研究，以及雷诺数的概念，与众多的流体流动问题，以及在多种情况下发生的湍流（turbulence）现象有关。当流体流动得很快时，它会从尚可用数学描述的行为转变成用方程难以预测的“湍流”。然而，许多最重要的问题正是在这些“灰色”地带现身的。
令人惊异的是，在尝试理解气候时所遭遇的数学复杂性，可以一直上溯到数学很远的历史。最重要、最早期的一部分数学工作，是与流体及流体流动有关的问题打交道的。虽然针对所谓牛顿流体的研究可以追溯到牛顿之前的时代，但是直到二十世纪中叶，对于出现的各种流体才有了一个较为全面的认识。随着二十世纪五十年代商用电子计算机的发展，运用电脑来进行天气预测的尝试激增。人们很快清楚地认识到，求解微分和偏微分方程的数值解固然很难（在多种情况，不可能找到“封闭形式的解”，换言之，使用已有深入理解的函数来表达解的公式是不可能的），但还有更深层次的问题存在。
反照率
要举个简单的例子让你管窥下气候预测问题有多么复杂的话，就考虑考虑反照率概念好了。我第一次听到这个概念，是在美国数学学会组织的一次集会中，其中有场气候变化的会议。对我来说，这是个新词。单词反照率（albedo）派生自拉丁词albus，意思是白色。我们都熟悉以下的思想：当光线照到镜子上时，大部分光线都会被镜子反射掉；但相同的光线照到可能你今天穿的面料上时，则只有很少部分被反射掉。光从某种表面反射的方式，取决于该种表面的性质。反照率的概念就是用来把这些情况推广到一般情形的。这个思想可以用来度量从太阳，或更一般地从宇宙空间发出的电磁辐射，是怎样从像地球、月亮或火星这样的行星体反射回去的。
有关反照率的思想起源，可以令人惊讶地追溯到远古时代。这表明了一个事实，即数学的远见和天赋，不会被任何特定国家所垄断。将数学先驱的研究成果应用于当前研究的倡议，有百利而无一害。
如果光或某种其他形式的电磁辐射，射至某行星的大气层，或射至一条河、一块庄稼地、一座冰川，或一块流冰的“表面”时，特定份额的能量会被吸收，而特定数量的能量会被反射。如果能量被大气层反射，那么它就被弹回宇宙空间了。如果能量被一块庄稼地或是一座冰川反射，那么它可能会被地球的大气层捕获，也可能不会，这么一来它或者会引起温室效应，或者也可能被释放回宇宙空间。因此，地球的“能量系统”之外的能量中，被地球捕获的数量，就成为了一个极难求解的问题。
光是如何从一种“介质”射入另一种的？这项研究似乎以皮埃尔·布格（Pierre Bouguer，1698-1758，见下图）的成果为出发点。
布格参与过一些项目，如测量在赤道附近的子午线（经度线）尺寸等。因为地球并不是个完美球体，人们就想求出它在赤道附近的凸起程度。布格还研究过水文地理学，它包括了现在的海洋学这门研究水体及其性质的一切方面的学科。1729年，他发表了题为《论光学分级法》（Essai d'optique surla gradation de la lumière）的文章。在这部作品中，他试图求解光在地球大气层中“降落”过程中消散的光（能）数量。
布格的开创性工作，发展成为了今天的所谓朗伯-比尔（或比尔-朗伯）定律（Lambert-Beer Law）。定律中的朗伯是指约翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert，1728-1777，见下图），他在法国出生，在德国逝世。
朗伯的名气比布格大，他是一名颇有成就的数学家。他与大数学家欧拉和拉格朗日都有过来往，也是提出后来发展为非欧几何思想的先驱之一。然而，他最著名的成就是首次严格地证明了
pi 的值（即圆周率）是个无理数（即不可用整数之比来表示）。朗伯对气候问题提供的洞见，体现在他1760年出版的《测光学》（Photometria）一书中。被称为光度学的早期代表作之一。那这本著作中，朗伯讨论了光能在进入不同介质（尤其是流体）时所发生的衰减问题。他还讨论了光在射到表面时被吸收或散射的方式。以他的名字命名的“朗伯表面”，描述的是一种能量无论以何种方式入射，都会以相同方式散射的表面。光密度的单位也是以他的名字命名，称为朗伯（lambert）。这个单位有时也称为亮度，单位是每平方米坎德拉。坎德拉是指从对面方向入射的光能数量。该术语的一个较早版本称为烛光（candle），用在英尺烛光（foot-candle）这样的单位里。朗伯的成果被波恩的一名物理学家兼数学教授奥古斯特·比尔（August Beer，1825-1863）进一步推广。比尔改进了朗伯的思想，并将它推广到了更一般的情形。
反照率的研究变得微妙和复杂，其原因在于象地球这样具备可观大气层的行星（月球就没有），反照率会随着能量的输入方向、年中的不同时间，甚至不同地点发生变化。虽然有些能量源对于特定的太阳系物体的反照率只在一定范围内变化，但是人们还是经常发现实际测得的反照率还是可以出现相当的差异。为了有一个比较的基础，这里列出一些反照率的值。然而，我已经被在一模一样的“材料”上所观察到的反照率（这里默认指反射的阳光百分比）值域之宽雷到了。
气候模型
究其根本，几乎所有能影响到地球气候的能量，都来自太阳，或者说，只有很小的一部分来自其它恒星。这些能量来自光能，或各种其它形式的电磁能量。这种能量一旦“抵达”地球，会产生什么效应呢？这是个非常复杂的问题，因为当能量抵达地球时，如果恰好碰上被云层覆盖的部分，那它的命运就和射中一大片暗地或一大块海冰的能量大相径庭了。还在数学和科学很早的历史时期，学者们就一直在试图求解该问题了。这些都集中反映在反照率概念，以及我们上述讨论中的那些复杂因素之中。除了太阳主导的气候因素（因其自身的能量循环和复杂的行为），还有一些地形特征亦可以影响气候。
为了了解这些系统之间的关系是如何的错综复杂，我们假设有一次重大的火山喷发，大量灰尘进入大气层，影响了抵达地球表面的电磁辐射量。这会反过来影响海洋温度和洋流、极地冰盖的尺寸、以及大气中的水汽含量。多种反馈回路都可能导致难以预料的、短期和长期的后果。
我们也会对火星、金星和水星等行星上的“气候”模式发生相同的兴趣，尽管这些行星上很可能并不存在生命，它还是会有自己的气候。它仍然会拥有海洋、云朵、火山爆发，以及其他能量相关的事件，这些都会影响大气温度、云层和降雨等气候的长期模式。
然而，地球气候在多大程度上受到地球上已经存在的生命的影响？这个问题是复杂且有争议的。在过去的125年里，化石燃料的燃量大幅上扬，这是否影响了地球气候呢？时下流行的科学界观点是，它已经影响了气候，而对中期以及更长时间内的后果的预测还在不断调整。数学和统计思想在研究人类活动造成的变化方面，已经发挥了重要的作用。而人类对气候影响的辩论的中心议题，目前围绕在温室气体和气溶胶，以及“碳足迹”等方面。
对温室气体加以控制，以及对碳足迹进行管理的办法是通过达成国际协定，来尝试改善现有情况。这种协议可以是自愿的，也可以由条约和其它有助于避免破坏地球的协定赋以强制性。说起来也许令人惊讶，在博弈论的数学思想中，较好的方式是鼓励参与这些国际协定的国家在制订协定时包含“自我监管”的条文。基本思想是让这些国家强制遵守这些协议，因为不这样做的话，对他们自己不利！此类博弈论的思想涉及一个跨学科领域，叫做机制设计，它关心的是在环境发展事业中涉及的国家在有冲突的情况下，如果为了自身利益而在阐述自己的倾向时“撒谎”，则不能得到最优策略。这种机制设计的目标是把“玩家”们置于视诚信守法视为最佳策略的条件中去。
虽然研究博弈论的数学家们已经获得诸多奖项，2007年的诺贝尔经济学奖还是当仁不让地由三名有共同数学爱好的科学家分享了，他们是里奥尼德·赫维克兹（Leonid Hurwicz）、埃里克·马斯金（Eric Maskin）和罗杰·梅尔森（Roger Myerson）。马斯金和梅尔森都拥有哈佛大学的应用数学博士学位。而赫维克兹在进行有关机制设计的研究时，则颇经历了一番曲折。他们的获奖原因主要是他们对于机制设计和博弈论的贡献。
人们该如何求解地球的气候变化规律呢？一种途径是把地球表面（及大气层）分割成大量小单元，然后根据在每个小单元求得的数据，来构建全局的解。下图说明了一种把球体沿经线和纬线分割成一堆小单元的方法。这类途径是将偏微分方程的求解归结为单元上的数值方法。
（感谢普林斯顿高等研究院地球物理流体动力学实验室的Paul Ginoux提供图片）
另一种分割地球或其部分表面成小单元的方法如下图所示：
（感谢普林斯顿高等研究院地球物理流体动力学实验室的Paul Ginoux提供图片）
数学已经为天气和气候的诸多方面提供了洞见，其中的一个尤其抓住了大众的想像力，那就是混沌。许多系统内都对存在“噪音”一事见怪不怪。我们已经对各种各样的噪声习以为常：无线电中的静电干扰音、拥挤的餐厅里的邻桌谈话、还有在房间里电器发出的嗡嗡声等。我们在遇到所有这些噪音时，都存在着“随机”不定的因素。嗡嗡声不是一个单一的调子，而是在不断变化着的。无线电的静电干扰音也在不断地变换着频率和强度。因此，一个相当不可思议的、但却广为人知的事实是：某些“噪音”情形却可能在一个完全没有随机性，即彻底确定的系统内发生。这种现象被称为“混沌”（chaos）或“混沌行为”。有关确定性系统中的混沌的预见，其数学根源要归功于伟大的法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré，见下图）：
然而，当代观察到混沌现象的早期科学家当属气象学家爱德华·洛伦茨（Edward Lorenz，1917-2008，见下图）：
洛伦茨的学术生涯始于著名的达特茅斯学院，在那里他完成了数学专业本科阶段的学习，之后又获得了哈佛大学数学专业的硕士学位。后来，他在麻省理工学院获得气象学博士学位，学位论文题为“将流体力学和热力学方程应用于大气模型的一种方法”。在麻省理工学院，他将自己的数学功底转化成了研究成果。洛伦茨是在研究偏微分方程解的性状时，一举两得地发现了我们今天称为混沌的现象。
我们在欢度一年一度的数学宣传月时，会情不自禁地惊叹，原来有那么多的数学分支（微分方程、微分方程数值解、博弈论等）对我们研究气候提供了巨大贡献。科学与数学确保地球成为一个安全、美好的家园，使人类能够在上面安居乐业。