数学与物理之美妙|开亮中学演讲谈学习经历连载之二

可乐数学按：作者通过6个具体的例子，介绍了数学与物理之美妙。也谈了学习数学和物理的体会。连载之一见上篇。

数学与物理之美妙

可以说，科学家探索真理的一大动机是为了追求美，正如法国数学家庞加莱（Poincare，1854--1912）在《科学与方法》一书中所说的：

科学家之所以研究自然，不是因为这样做很有用。他们研究自然是因为，他们从研究中得到了乐趣，而他们得到乐趣是因为它美。如果自然不美，它就不值得去探索，生命也不值得存在……我指的是本质上的美，它源于自然各部分和谐的秩序，并且纯粹的理智能够领悟它。

更极端的说法出自英国数学家哈代（Hardy，1877--1947），他在《一个数学家的辨白》中说道：

美是首要的试金石：丑陋的数学不可能永存。

我想举几个例子来说明数学与物理之美妙，这些例子曾经震撼了我，或许你们也会有同感。

第一个例子：牛顿（Newton，1642--1727）。

我们先来看一看Newton是怎么说的吧：

我不知道世人怎样看待我， 可我自己认为， 我好像只是一个在海边玩耍的孩子，不时为捡到一些比通常更光滑的石子或更美丽的贝壳而欢欣，而展现在我面前的则是完全尚未被探明的真理之海。

这些话是Newton在他漫长的一生行将结束时对自己的评价。 他很谦虚地告诉我们，他其实只是发现了一些美妙的东西而已，尚未发现的还无穷无尽。 我们中的大多数或许都感觉不到数学的大海边有什么“光滑的石子或美丽的贝壳”， 自然也就不会因此而欢欣鼓舞。其实，确实有的。我们举一个Newton本人发现的“美丽的贝壳”来说明这一点。很多人都知道Newton发现了三棱镜的分光现象，并解释了使得自然界如此多彩中的颜色之谜， 他描述了这个发现给他带来的喜悦：

在1666年初我做了一个三角形的玻璃棱柱镜，利用它来研究颜色的现象。 为了这个目的。我把房间染成漆黑的。 在窗户上做一个小孔，让适量的日光射进来， 我又把棱镜放在光的入口处，使光能够折射到对面的墙上去。当我第一次看见由此而产生的鲜明的强烈的光色时， 我感到极大的愉悦。

我相信每一个人见过彩虹的人都会为光的色散而震撼，隐藏在这个美妙现象背后的机制是什么呢？如果你念过大学物理就知道，之所以色散是因为光经过棱镜后做了傅里叶（Fourier，1768--1830）分解， 就像声波经过滤波器分解为简单的谐波一样；如果你念过量子力学，那么就能够从原理上解释这个现象。总之，这个解释需要数学和物理中非常深刻的东西。

第二个例子，牛顿利用万有引力定律以及牛顿第二定律推导开普勒的三个定律。这是纯粹的数学工作，需要用到微积分。但是，我要告诉你，这绝对是一件了不起的事情，如果一个人学了微积分以后不知道怎么用来完成这个著名的推导，那么他的微积分水平恐怕有折扣。事实上，正是这个例子点燃了某些人的数学火花，20世纪最伟大的数学之一辛格（I. M. Singer，1924--）就是从这里开始他的数学生涯的，在接受别人的问题访谈：“你第一次是如何遭遇数学的”时，他这样回答（见J. Segel, Recountings: Conversations with MIT Mathematicians (A K Peters, Ltd, 2009)第25页。）：

当我在高中的时候我就对科学感兴趣，而且获得了密歇根大学的奖学金。在密歇根的头一年，我觉得没有什么挑战性，很失望，当一天和尚撞一天钟，直到在微积分的课堂上，我们的老师介绍了牛顿如何从他的平方反比定律推导出行星的椭圆轨道。我感觉到，特殊的事情发生了，是富有智慧与美妙的事情！我现在仍然能感受这一点，而且常常跟那些门外汉说：“只要想一想人类智慧是何等的卓越；在一张纸上就可以演算出行星的轨道！”真是令人难以置信，事实上恰当的说应该是，令人\emph{敬畏}。我为那个推导感到激动；这加强了我投身科学的决定。

我想顺便说一说数学与物理的关系。物理是描述现实世界的，怎么描述，需要语言，这就是数学。牛顿创造出微积分就是因为他要论证《自然哲学中的数学原理》中的诸多物理事实。现在很多学数学的人渐渐忘了数学的缘起，也不重视其应用，这是很可怕的。数学的一个最大的作用在于，它可以对自然界发现的各种规律给出一个合乎情理的逻辑上的解释。它甚至能让你觉得，从数学上看，自然界的规律都是天理昭彰、自然而然的。

第三个例子，2010年菲尔兹奖获得者、法国数学家维拉尼（C\'{e}dric Villani， 1973--）。记者采访问他在中学的数学学习经历中有什么特别之处，他这样回答：

学习了什么是群之类的东西。理解新概念的快乐是至关重要的。我对一个简单的概念记忆犹新：证明一个函数是一个奇函数和一个偶函数的和。当然，我很容易地解决了这个问题，但是其解出乎意料。我第一次理解了，函数可以不必由公式给出，它可以由其它函数抽象地构造出来。我还记得对另一个定理的惊奇，这个定理说，在一个平行四边形中，两条对角线的平方和等于四条边的平方和，我被这个恒等式的简单和美丽迷住了。

注：后面的一个定理归功于阿波罗尼斯（Apollonius，约公元前262年--190年）。

如果你用解析几何的办法来证明这个定理的话，将会发现证明是平凡的，它无非就是利用一个显然的代数等式：$(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)$。

第四个例子，无穷级数之和。无穷级数是高等数学中一个最重要的工具之一，例如前面我们提到的母函数

就是一个无穷级数，同时它也是高中数学中最重要的一个无穷级数。一个有限的版本是：

罗塔教授关于做演讲的最后一个基本要求是，要给听众一些真正有用的东西，我想我的讲演中你可以真正带回家的就是后面这一个公式。如果你还不满意，我可以用另一种方式再写一遍：

20世纪最伟大的数学家之一赛尔伯格（Selberg，1917--2007）在《拉马努金（Ramanujan，1887-1920） 一百周年诞辰之际的反思》一文中回忆起他在中学时因为偶然看到一个无穷级数给他一生所造成的影响：

这里我要说几句题外话，因为这反映出机遇在人的一生中起着何等重要——是极大的作用。我大约在13岁开始读数学。当时，我偶然打开一本书，就看见了~pi/4的莱布尼兹（Leibniz，1646--1716）级数

由奇数的倒数加正负号交错变化构成。在此之前，学校的数学一直令我乏味，

但是这个式子看起来不仅奇怪而且漂亮，因此我下决心要读一读这本书，以便知道这个式子是怎样得到的。

在南开大学举行的一次无主题座谈会上，陈省身先生被问及这样的问题：数学之美何在？他如是回答：

世界上美有不同的形态。艺术有艺术之美， 数学有数学之美。艺术之美， 由范曾兄给大家解答（笑声）。至于数学之美，大家听我举一个例子：

进入了数学殿堂的人看着这个无穷级数， 看到这个公式就觉得很美！ 很美！ 你们看：有限与无限之转化， 化古今为须臾， 抚四海于一瞬。这是科学之美！ 自然之美！ 宇宙之美啊！

第五个例子，博弈论。大概很多人都听说过数学家纳什（John Nash，1928--2015），他是~1994~年诺贝尔经济学奖的得主。一度因为研究数学走火入魔患上精神病，他的传奇故事被拍摄成电影《美丽心灵》。

他凭什么工作拿诺贝尔奖呢？大家知道，诺贝尔奖里边没有数学奖，但是纳什正是凭他早在1950年代的数学工作获得诺贝尔经济学奖。他所做的数学属于博弈论，英文叫game theory。这个博弈论之所以能够用于经济学，主要是因为

冯诺依曼的贡献。Nash~则进一步推进了冯·诺依曼（John von Neumann，1903--1957）的工作。经济学在20世纪经历了两场革命，其中之一就是自1970年以来逐渐成为态势的“博弈论革命”，纳什的工作是这一发展的起点。20~世纪著名的诺贝尔经济学奖得主莎缪尔森（Paul A. Samuelson，1915-2009）曾经说过：

要想在现代社会做一个有文化的人，必须对博弈论有一个大致的了解。}

博弈论的数学思想其实很简单，我简单地介绍一下。博弈论认为：人是理性的，在作策略选择时，每个人都会追求在约束条件下的利益的最大化；同时，各人之间的行为又是互相影响的。当你与人下棋时，你就不得不考虑你的对手对你的决策会做出什么反应。而社会经济活动就如同下棋一样。也就是说，在任何交易中，你做决策时必定也要考虑到其他人的决策；另一方面，其他人做决策时也必定要考虑到你的决策。你的行为结果不仅取决于你本人的决策，同时也取决于其他人的决策。这样，你对你的对手之间就构成了一个博弈。凡是涉及到人群的互动，就存在着博弈，博弈论研究的就是在互动条件下人们的最优决策问题。

第六个例子，对偶。我想要说的最后一个例子是对偶（duality）的想法，这个概念涉及到物理学的前沿。

我先举一个最简单的例子来说明数学中的对偶，我想要表达的是，对偶可以很具体的说清楚的。

我想举一个几何学里的例子：可以认为，在所有的平行四边形中，矩形和菱形是互为对偶的。这个对偶其实是显而易见的：将一个矩形各边的中点依次连接可以得到一个菱形，将一个菱形各边的中点依次连接可以得到一个矩形。

对偶的概念广泛地出现在数学和物理中，例如时空对偶（相对论）和电磁对偶，我的体会是，这两个对偶还有非常紧密的关联，或许它们是互相约束的爱因斯坦的相对论与麦克斯韦的方程之间有着深刻的渊源。

对偶的想法在量子力学中有更好的体现。比方说，我们知道，在经典物理中，对于光，有牛顿的粒子说与惠更斯的波动说，这两种学说一直争辩不休。然而，随着量子力学的发现，人们逐渐接受这样一个观点：物质具有波粒二象性，并且波的特性与粒子的特性互为对偶。这是一个很奇妙的事实，连续的波与离散的粒子可以视为对偶。然而，再仔细想一想，也不会觉得很奇怪，因为在经典物理中，连续的电磁波与离散的电荷也可以视为对偶。当然，目前并没有发现孤立的磁荷，这是当代实验物理的一个重大课题。

或许我说这话你要觉得奇怪，但事实就是如此：对于电磁对偶，目前我们还缺乏了解。事实上，这是目前理论物理学家很关心的一个问题，从唯象的水平上说，电磁对偶早在法拉第——麦克斯韦的时代就已经理解了，现在大家关心的是，如何对此做出解释，这个对偶的机制在哪里？物理学家已经发展起一些非常有前途的理论了，同样的，涉及到的数学高深莫测。

因为我本人也是“外行看热闹”，只能点到为止，有兴趣的朋友请自己上网找资料。

学习数学和物理的体会

我不想把这个问题分开谈，事实上可以做一个比较。

根据我的学习经验，物理其实比数学难学。我有时候倾向于相信，学物理的人一般要比学数学的人聪明，反正我在数学系没有遇见特别聪明的同学，但是物理系的刘云朋则是无可争辩的聪明人。另外，我发现，物理学家写的书好像要比数学家写的书好懂。（记得杨振宁先生曾讲过这样一句笑话：“数学书有两种，第一种是你看了第一页就不想看了，第二种是你看了第一句话就不想看了。”）例如，爱因斯坦，他有三卷《爱因斯坦文集》在中国有中译本，我们首都师范大学数学院有个老师就对爱因斯坦的表述能力深为叹服，他说还没有一个人能有爱因斯坦写文章说话那么清晰明了，他直接从爱因斯坦的通俗演讲中学会了狭义相对论。

在我的情况是，费曼的三卷《物理学讲义》让我可以读下去。顺便提一句，费曼的很多书都有中译本，你们可以去找来看看，很有意思，也很有启发性。例如《发现的乐趣》、《别闹了，费曼先生》。虽然费曼的书写得很好了，但是我还是有问题，因为从前受的数学教育过分形式化， 以至于我读物理时总是想要严格地补充各种琐碎的细节。有时候就是被这些细枝末节干扰了，使得我“只见树木不见森林”。到目前为止，我学物理还不是很成功，所以我很难给大家提供有价值的建议。对于数学，我已经说过，我学得并不是很好，如果说我分数考得高，那是因为习题做得多的原因。其实我并不聪明，不过我也并不因此而自卑。